Размерность и покрытие множества (или его дополнения) шарами

В моем понимании фрактальная  размерность и все ее допустимые варианты являются не топологическими, но метрическими понятиями. Они включают в себя некое метрическое пространство , то есть пространство, в котором соответствующим образом определяется расстояние между любыми двумя точками. Замкнутый (либо открытый) шар с центром  и радиусом  в таком пространстве представляет собой множество всех точек, находящихся от точки  на расстоянии  (либо ). (Шары суть сплошные тела, а сферами мы называем их поверхности.)

Существует много способов покрытия некоторого заданного ограниченного множества  в пространстве . Часто (как, например, в случаях, рассматриваемых в данном разделе) эти способы естественным образом включают в себя понятие размерности. В фундаментальных прецедентных исследованиях упомянутые размерности имеют одинаковые значения. Однако в других примерах их значения могут быть различными.

1. Кантор и Минковский

Самый приблизительный способ покрытия, восходящий еще к Кантору, заключается в том, что каждая точка множества  объявляется центром шара; объединение этих шаров рассматривается далее как сглаженный вариант множества  и обозначается через .

Добавим сюда допущение о том, что  является  - мерным евклидовым пространством. В этом случае понятие объема (vol) определено, и можно записать

,

где

.

Если  - куб, объем которого много больше , то

.

Если  - квадрат, площадь которого много больше , то

.

Если  - интервал, длина которого много больше , то

.

Уточним наше выражение. Введем для обозначения объема, площади или длины общий термин «протяженность», а буквой  обозначим стандартную размерность. Положив

,

мы  увидим, что и для кубов, и для квадратов, и для прямых верно следующее выражение:

.

Эта формула представляет собой вовсе не пустячное соотношение, связывающее два в равной степени безобидных понятия, как это может показаться на первый взгляд. Как показывает пример, представленный Х. А. Шварцем (1882), по мере увеличения точности триангуляции кругового цилиндра сумма площадей треугольников вовсе не обязательно сходится к площади поверхности цилиндра. Для того, чтобы избежать такого парадоксального поведения, Минковский [431] предпринял попытку свести понятия длины и площади к простой и здравой концепции объема с помощью вышеописанного метода покрытия множества  шарами.

Здесь, однако, с самого начала возникает небольшое затруднение: выражение для  при  может и не иметь предела.

В этом случае предел  заменяется парой  и . Любому вещественному числу  из открытого интервала  соответствует, по меньшей мере, одна последовательность значений , таких, что

.

Такой последовательности, однако, не существует, если либо , либо . В соответствии с этими определениями, Минковский [431] называет величины

и   

верхней и нижней  - протяженностью множества . Если они равны, их значение совпадает с  - протяженностью множества . Минковский также отмечает, что в случае стандартных евклидовых фигур существует некая величина , такая, что при  верхняя протяженность  обращается в нуль, а при  нижняя протяженность  бесконечна.

2. Булиган

Обобщение определения Минковского на случай нецелочисленных  было предпринято Булиганом в [47,  48]. На роль размерности Минковского – Булигана  из упомянутых выше пределов, пожалуй, больше подходит , способный принимать дробные значения.

Булиган, безусловно, понимал, что размерность  подчас противоречит здравому смыслу и, в общем, менее удобна, чем размерность Хаусдорфа – Безиковича . Однако она часто совпадает с  и легче поддается оценке, а значит, может оказаться полезной. В [255] (с. 29) рассматривается случай  и подтверждается, что размерность  часто равна , может быть больше , но не может быть меньше.

3. Понтрягин и Шнирельман. Колмогоров и Тихомиров

Среди всевозможных наборов шаров радиуса , покрывающих множество  в метрическом пространстве , наиболее экономичным по определению является тот, который содержит наименьшее количество шаров. Если множество  ограничено, это наименьшее количество конечно и может быть обозначено как . Учитывая это обстоятельство, Понтрягин и Шнирельман [481] выдвинули в качестве альтернативного определения размерности следующее выражение:

.

Дальнейшее развитие этот подход получил в работе Колмогорова и Тихомирова [278], авторы которой, почерпнув вдохновение в шенноновской теории информации, окрестили величину   - энтропией множества . Хокс [204] называет соответствующую размерность нижней энтропийной размерностью, а ее вариант, получаемый заменой  на  - верхней энтропийной размерностью. Кроме того, Хокс показывает, что размерность Хаусдорфа – Безиковича не может превышать нижней энтропийной размерности; они часто совпадают, но не всегда.

В [278] рассматривается также величина , определяемая как наибольшее количество точек в , отстоящих друг от друга на расстояние, превышающее  . Для множеств, расположенных на прямой, . Для других множеств величину

можно считать еще одной размерностью.

У Колмогорова и Тихомирова [278] величина  называется емкостью, что в высшей степени неудачно ввиду того, что в теории потенциала уже существует такой термин с совершенно иным и, на мой взгляд, более оправданным значением. В особенности следует избегать искушения определить выведенную в предыдущем абзаце размерность, как емкостную размерность. См. раздел потенциалы и емкости, 3.

4. Безикович и Тейлор. Бойд

Из главы 8 нам известно, что в том случае, когда пространство  представляет собой интервал  или вещественную прямую, пыль  полностью определяется своим дополнением, т.е. объединением максимальных открытых интервалов или пустот (в некоторых построениях все пустоты являются тремами).

Троичная канторова пыль  на интервале . Длины пустот составляют в сумме единицу и следуют гиперболическому распределению . Следовательно, порядок длины   - й пустоты (в порядке уменьшения размера) равен .

Обобщенные линейные множества нулевой меры Лебега. Поведение длины  при  рассмотрено в работе Безиковича и Телора [29]. Существует некоторый вещественный показатель , такой, что ряд   сходится при  (в частности, сходится к 1 при ). Таким образом,  представляет собой инфимум вещественных чисел , при которых . Можно показать, что . Хокс (см. [204], с. 707) доказывает, что величина  совпадает с верхней энтропийной размерностью, причем иногда легче поддается оценке.

Предостережение. Если  не является множеством нулевой меры, показатель  не является размерностью. Этот показатель сродни показателю, описанному в главе 15, и показателю  из главы 17.

Показатель аполлониевой упаковки. У показателя  имеется аналог в случае аполлониевой упаковки (см. главу 18). Он был введен в 1966 г. З. А. Мельзаком, а Бойд [51] показывает, что этот показатель представляет собой (как и предполагалось) размерность Хаусдорфа – Безиковича остаточного множества.