35 ОБОЩЕНИЯ ТРЕМЫ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕКСТУРОЙ

Сообразуясь с логикой нашего эссе, в главах 31 – 33 мы ввели трема – фракталы с помощью простейших примеров, в основе которых лежат интервалы, круги и шары. Полученные результаты радуют взор своим разнообразием, которое, однако, вряд ли можно сравнить с богатствами, ожидающими нас среди трем более общей формы.

Да, разумеется, в работе [132] со всей однозначностью показано, что размерность трема – фрактала определяется исключительно распределением длин (площадей, объемов) трем. Однако те дни, когда размерность  была единственным числовым параметром, характеризующим фрактал, остались в прошлом, как только мы ввели в главе 34 понятия сукколяции и лакунарности. В настоящей главе показано, какое влияние на эти характеристики оказывает форма тремы. И снова мы оказываемся свидетелями чудесного совпадения спроса, предъявляемого прецедентными исследованиями, и предложения, поступающего со стороны геометрии.

Исследуя трема – фрактал на предмет сукколяции, мы убеждаемся в том, что форма трем влияет на величину , т.е. при заданном значении  от нее зависят знак и величина разности .

Лакунарность фрактала также зависит от формы трем, и здесь мы можем сделать несколько более продвинутых по сравнению с предыдущими главами заявлений. Из линейных трема – фракталов (глава 31) самыми лакунарными являются пыли Леви; наиболее простой и естественный путь получения любой меньшей степени лакунарности заключается в использовании в качестве тремы объединения многих интервалов. В случае пространственных трема - фракталов, получаемых непосредственным построением (глава33), простейший способ изменения лакунарности состоит в изменении формы каждой тремы с круглой или шарообразной на любую другую. В случае же пространственных трема – фракталов, субординированных броуновскому или дробному броуновскому движению     (глава 32),  следует в качестве субординатора взять какую-либо другую фрактальную пыль, менее лакунарную, чем пыль Леви. 

К сожалению, отведенное мне время не бесконечно, а для того, чтобы привести в надлежащий (пригодный к публикации) вид все теоретические рассуждения, касающиеся трема – фракталов, потребуется значительная их переработка. Так что эта глава (собственно, последняя в настоящем эссе) поневоле оказывается не более чем наброском.

Трема – генераторы. изотропия

Термин форма тремы, использованный во вступительном разделе, связан с понятием трема – генератора. Мы, конечно же, уже знакомы с термином генератор, который встречался нам в нескольких предшествующих главах. Мы также помним о том, что ломаные генераторы канторовых и коховых фигур, равно как и трема-генераторы фигур Серпинского, определяют одновременно и саму фрактальную фигуру, и ее размерность . Здесь же, обратите внимание, трема – генератор определяет все, кроме .

Неслучайный трема – генератор. Такой генератор представляет собой открытое множество с некоторым, произвольно выбранным внутри него, центром, причем длина (площадь, объем) этого множества равна 2 ( или , соответственно). А тремы – это перемасштабированные версии описанного генератора. Положения и размеры трем случайны, а распределение вероятностей совпадает с аналогичным распределением в главах 31 и 33.

В случае , например, количество трем, длина которых превышает , а центр расположен внутри интервала длины , по-прежнему является пуассоновской случайной величиной с ожиданием . Кроме того, как показано в [132], остается справедливой и хорошо известная нам формула для определения размерности  - правда, с некоторыми нестрогими ограничивающими допущениями относительно формы трема – генератора. (Отдельного рассмотрения заслуживает вопрос о причине возникновения этих ограничивающих допущений – присущи ли они трема – фракталам изначально, или мы обязаны ими методу доказательства.)

Ограниченность генератора. Поскольку теоретической целью построения с использованием трем является создание глобальных структур из локальных взаимодействий, разумно будет ввести допущение о локальности (т.е. ограниченности) трем. Если же тремы не ограничивать, то они могут привести к весьма неожиданным сюрпризам. На рис. 398 представлено дальнейшее обобщение модели трем.

Определение пустот. Пустой промежуток теперь представляет собой не объединение трем, но объединение наибольших открытых компонентов трем.

Неслучайная изотропия. Для обеспечения изотропности генератора мы должны иметь возможность выбирать точку отсчета таким образом, чтобы генератор представлял собой  множество точек, удовлетворяющих следующему условию: расстояния между этими точками и точкой отсчета должны принадлежать некоторому множеству на положительной вещественной оси (обычно это набор заданных интервалов). Изотропный случай является самым простым и наиболее хорошо изученным.

Однако  неизотропия здесь также не исключается. В частности, фрактальную пыль можно сделать асимметричной относительно прошлого и будущего. 

Случайный трема – генератор. Такой генератор представляет собой частично или полностью случайное множество, длина (площадь, объем) которого равна единице. Было бы неплохо тщательно рассмотреть вопрос о применимости к данному случаю теоремы, доказанной в [132].

Наименьшего уровня случайности можно достичь, если выбрать из процесса, генерирующего случайные множества, какую-то ограниченную совокупность элементов и отождествить с этой совокупностью все наши тремы (вплоть до смещения и размера). Следующий практически полезный уровень случайности достигается путем добавления случайного поворота, выбираемого для каждой тремы отдельно и независимо от других. Еще более общая картина возникает, когда каждая трема является результатом независимой выборки из какого-либо генерирующего случайные множества процесса. Выбранные множества не обязательно должны иметь одинаковый объем, объемы выравниваются на следующем этапе. Затем выборки поворачиваются. Можно представить случай, когда повороты зависят один от другого, однако я пока таких случаев не рассматривал.

Случайная изотропия. На первом из вышеописанных альтернативных уровней случайности изотропия требует инвариантности выборки при повороте. На втором – выборка поворотов должна иметь однородное распределение. На третьем же необходимо лишь, чтобы инвариантным при повороте был сам процесс.

Стратификация. Исходя из вышеприведенных определений, длина (площадь, объем) трем, в принципе, допускает стратификацию, т.е. ограничение коэффициента подобия значениями вида . Однако при этом сложно провести границу между эффектами стратификации и обобщения форм трем, так что от стратификации придется отказаться.

Управление сукколяцией с помощью критической размерности  обобщенных трема – фракталов

В одном из разделов главы 34 показано, что если фрактал «почти» перколирует (т.е. он принадлежит к некоторому семейству с вполне определенной критической размерностью , а его собственная размерность  «всего лишь чуть-чуть» ниже критической), то следует ожидать, что его структура будет перистой. Иными словами, требуемые размерность  и интенсивность перистости структуры могут быть достигнуты совместно, если среди параметров модели числятся одновременно и , и  .

В случае трема - фрактала параметрами являются вещественное число  и некоторая функция, задающая трема – генератор. Позвольте мне продемонстрировать, что размерность  является ничем иным, как функцией от этого последнего параметра: можно добиться того, что ее значение окажется произвольно близко к , а если , то можно сделать так, что размерность  будет произвольно близка к 1.

Случай, когда критическая размерность  произвольно близка к . Для реализации такой размерности достаточно взять в качестве генератора произвольно тонкую иглу или плоский блин с фиксированной формой, но изотропно ориентированными осями (см. рис. 446). Для доказательства этого утверждения в случае плоскости  заметим, что при заданном произвольном значении  размеры и направление трем, а также расположение их центров можно выбирать только сообразуясь с коэффициентом плоскостности генератора. Далее рассмотрим квадрат со стороной , а все тремы разделим на три группы: средние тремы (площади трем меньше , но больше ), большие тремы и малые тремы. В случае, когда величина  много больше  (по отношению к дискообразным тремам), а тремы представляет собой едва сплющенные диски, картина напоминает ту, что мы видели в главе 33: средние тремы, по большей части, образуют отдельные пустоты, окруженные в высшей степени связным множеством. Однако если тремы сплющены почти в прямые, то они почти наверное разобьют наш квадрат на малые несвязные многоугольники.  Добавление малых сплющенных трем может привести только к дальнейшему разбиению упомянутых многоугольников. Добавление же больших трем может либо полностью стереть квадрат, либо рассечь его на части, либо оставить без изменений. В последнем случае перколяция становится невозможной. То есть я только что продемонстрировал, что посредством сплющивания трем можно увеличить критическую размерность  до значений, превышающих любое заданное .

Обобщение для случая  представляется очевидным.

Тот же эффект достигается и в случае  (а также распространяется на случай ), если в качестве трема – генератора взять область, заключенную между двумя концентрическими сферическими поверхностями, причем радиус бóльшей сферы должен быть много больше единицы.

Случай, когда критическая размерность  произвольно близка к 1. Рассуждая эвристически, можно предположить, что при  и почти иглообразных тремах величина критической размерности  будет произвольно близка к единице.

Управление лакунарностью с помощью изменения размеров трем в обобщенных трема – фракталах

В одном из разделов главы 34 показано, как можно управлять лакунарностью в случае стратифицированных длин трем. А сейчас давайте занесем на скрижали (без особых, правда, подробностей) следующее замечание: той же цели можно достичь и посредством изменения трема – генератора. Мы воспользуемся той мерой лакунарности (из упомянутых в главе 34), которая определяется через величину внешнего порога .

Вообще-то мы предпримем предварительно еще один шаг и введем двойной порог, ограничив линейный масштаб трем следующими величинами: и .

Нетрудно убедиться в том, что случайным образом выбранная точка по-прежнему принадлежит с вероятностью  получающемуся в результате усеченному трема – фракталу. Затем распределим по нашему множеству некоторую массу с плотностью . Префактор   из главы 34 окажется при этом равным . Если переход к  выполнить должным образом, то выражение остается справедливым и для . Следовательно, .

(При альтернативном  определении порога  его величина выражается следующим образом: .)

Остается вычислить величину . Как выясняется, она зависит от общей формы трема – генератора и достигает наибольших значений, когда генератор представляет собой интервал (диск, шар). Она может быть и произвольно малой; соответственно малым оказывается при этом и внешний порог .

Если трема заключена между двумя концентрическими сферами с радиусами и , то результат получается очень простой: .

Таким образом, вполне возможно добиться того, что , а следовательно, и ковариантность распределения масс произвольно быстро перейдет к такому поведению, какое наблюдается в асимптотической области, т.е. плотности в двух точках, расстояние между которыми превышает  , станут эффективно независимы одна от другой.

Странно, что уменьшение лакунарности (через уменьшение параметра ) достигается посредством растягивания генератора. Скорее, следовало бы ожидать, что все более растягивающий генератор приведет к увеличению размеров предасимптотической области. Этот факт еще раз подчеркивает, что поведение величины   (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты  (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты , однако рассматривать их здесь мы уже не будем.

Управление лакунарностью в пылях, субординированных броуновским следам

Раз уж мы управляем лакунарностью линейной пыли, мы вполне можем отобразить результат на пространство с помощью процесса субординации, описанного в главе 32. Имея дело с плоскостью и используя в качестве субординанда броуновскую сеть (см. рис. 341), можно построить пыль, которая произвольно близка к тому, чтобы выглядеть как сеть, и характеризуется бесконечной степенью ветвления. Начнем с плоскости и положим, что субординанд представляет собой дробную броуновскую сеть с ; пустоты такой сети имеют меньший размер, чем пустоты сети с . Если при этом размерность субординатора удовлетворяет неравенству , а лакунарность субординатора низка, то можно добиться того, что субординат будет произвольно близок к тому, чтобы казаться заполняющим плоскость. В случае  и  субординанд является заполняющей пространство кривой. Если , а лакунарность субординатора низка, то можно добиться того, что субординатная пыль будет заполнять пространство; при этом степень ее лакунарности может быть сколько угодно низкой, независимо от величины .

Рис. 446. Влияние трема – генератора на лакунарность трема - фрактала

Эти иллюстрации призваны дать читателю представление о степени влияния формы трема – генератора на лакунарность фрактала. Оба трема – генератора имеют форму ромба, однако первый ромб представляет собой почти квадрат, а второй больше похож на тонкую иглу. Внутри белых областей можно разглядеть отдельные маленькие черные ромбы.

Оба построения характеризуются одинаковой размерностью ; площади наибольшего и наименьшего ромбов также одинаковы. Отсюда следует, что в обоих случаях одинаковы и площади оставшихся белыми областей (с учетом статистической изменчивости). Тем не менее, непосредственное наблюдение со всей очевидностью свидетельствует о том, что белые участки на одном из рисунков распределены гораздо более равномерно, чем на другом. В соответствии с введенными мною мерами лакунарности более равномерно распределенные белые остатки характеризуются более низким значением коэффициента лакунарности.

Рис. 447. Фрактальная пыль, получаемая при использовании несферических трем:

Проекция одного пространственного октанта на сферический небосвод

Мне, право, очень неловко об этом говорить, но изначально я планировал поместить здесь совсем другую иллюстрацию, и более того -  в настоящий момент я не в состоянии припомнить точных спецификаций той, которая все-таки сюда попала. Причина весьма незамысловата. К первому января 1979 г. мы подготовили огромное количество изображений фракталов с размерностью  и различными степенями лакунарности и сукколяции. Бóльшая часть готовых иллюстраций хранилась в одной папке, которую куда-то засунули и не смогли потом отыскать; к счастью, в других папках уцелели некоторые предварительные результаты, однако ярлыки к ним оказались никуда не годными. Времени на повторный запуск программы уже не оставалось, поэтому пришлось довольствоваться тем, что удалось спасти.

Насколько я помню, построение для данной иллюстрации начинается с периодической структуры, периодом которой является кубическая решетка . Иными словами, вычисление проводится на решетке , противоположные грани которой совпадают, образуя тор. Распределение объемов трем усечено. Поскольку тремы в процессе построения удаляются, точка начала координат перемещается в некоторую не удаленную точку, которая выбирается либо произвольно, либо внутри области с высокой плотностью.

Точки, близкие к началу координат, исключаются из результата построения, остальные же сортируются по оболочкам, задаваемым неравенством , в соответствии с уменьшающимся уровнем яркости. Каждая оболочка проецируется на сферический небосвод.

Целью построения является обработка имеющихся в наличии данных с тем, чтобы извлечь из них максимальное количество независимой информации. При малых значениях  можно составить карту всего небосвода целиком, однако при бóльших  не следует обрабатывать больше некоторой разумной доли одного периода исходной периодической структуры. Максимальное значение  в самой внешней оболочке соответствует карте, ограниченной одним-единственным октантом небесной сферы – например, областью, где  и  . Определяя этот октант в сферических координатах, можно сказать, что он соответствует положительным значениям широты (северное полушарие), долгота же при этом варьируется от  до . В использованной здесь хаммеровской проекции этот октант отображается на участок, напоминающий готическое стрельчатое окно; см. нижеследующий рисунок.

Когда  достигает 600, данные в окрестностях трех вершин становятся статистически зависимыми, причем окрестности нижних вершин, лучше всего, совсем исключить из рассмотрения. Таким образом, данные за пределами , а также данные в окрестностях точек ,  и , , приходится принести в жертву необходимости  избежания статистической зависимости, порождаемой периодичностью. С другой стороны,  для построения небосвода для антиподов ( и , т.е. южные широты и долготы , удовлетворяющие неравенству ) не требуется заново проводить вычисления, а результат может оказаться достаточно отличным от предыдущего, и его вполне можно будет рассматривать как источник дополнительной информации.  

На заключительном этапе обработки, целью которого является уничтожение следов исходной кубической решетки, все точки смещаются вдоль векторов, координаты которых равномерно распределены на интервале  . К сожалению, в результате этой процедуры образуются сплошные серые участки различной степени насыщенности, которые искажают получаемую фрактальную пыль: мы видим не что иное, как сглаженные версии областей с высокой степенью неравномерности.

На представляемой вниманию читателя иллюстрации , а , т.е. модули векторов лежат в узком диапазоне, ширина которого равна .

На рис. 7 в статье [397] представлена еще одна фрактальная пыль (из тех же, кстати, предварительных результатов с неполными ярлыками), при построении которой использовался другой набор из  трем.