37 КОЛЕБАНИЯ ЦЕН И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ В ЭКОНОМИКЕ

Называя обнаружение закономерностей в изменении цен на фондовой и товарной биржах геометрической задачей, мы шутим лишь наполовину – финансовые разделы газет полны всевозможных опусов доморощенных «геометров», более или менее правдоподобно отображающих на своих диаграммах прошлое  и претендующих на то, что они способны, исходя из геометрии этих построений, предсказать будущее.

В ответ на эти претензии у нас имеется контрдовод, впервые выдвинутый Луи Башелье еще в 1900 г.: построение диаграмм и графиков в данном случае бесполезно. В наиболее резкой форме его возражение звучит следующим образом: последовательные изменения цен статистически независимы. Если сформулировать мягче, то каждая цена определяется в результате «мартингального» стохастического процесса, т.е. рынок в этом смысле «совершенен»: все, что происходило в его прошлом, полностью игнорируется. Можно выразиться еще мягче: существование отклонений допускается до тех пор, пока они не превышают операционных издержек; такие рынки называются «эффективными». Понятие эффективности по Башелье оказалось как нельзя более точным.

Вот еще одно, более конкретное, утверждение Башелье: любая конкурентоспособная цена следует в первом приближении «одномерному броуновскому движению» . Здесь стоит вспомнить и о том, что столь фундаментальный для физики процесс был открыт не признанным в математическом сообществе математиком; подробнее я расскажу об этом в главе 40. К великому сожалению, когда в дело вступили реальные данные, оказалось, что  представляет их весьма неудовлетворительно. В настоящей главе представлено альтернативное описание, построенное мною на основе скейлингового допущения (одного, кстати, из самых ранних, причем не только в экономике). Как выяснилось, описание это на удивление точно отражает реальное положение дел.

Дискретность цен

Мое простейшее анти – броуновское возражение основано на одном экспериментальном наблюдении, настолько простом и очевидном, что остается только удивляться, как нечто столь незамысловатое может оказаться столь фундаментальным. Впрочем, рассуждения, с помощью которых в предыдущих главах доказывалось, что в случае галактик , а в случае турбулентности , также удивительно просты и очевидны. Упомянутое незамысловатее наблюдение заключается в том, что для описания феномена, характеризующегося  ярко выраженной дискретностью, нельзя использовать непрерывный процесс. Известно, что выборочные функции броуновского движения как раз и являются почти наверное и почти везде непрерывными. Однако цены на конкурентных рынках вовсе не обязаны быть непрерывными, и они явно дискретны. Единственная причина допущения непрерывности состоит в том, что  многие науки, осознанно или нет, стремятся копировать процедуры, доказавшие свою эффективность в ньютоновской физике. Непрерывность вполне может оказаться разумным допущением при описании всевозможных «экзогенных» сущностей и процессов, которые применимы к  экономике, но определены в чисто физических терминах. Цены в эту категорию никоим образом не вписываются: в механике просто нет ничего похожего, и она не может снабдить нас никакими указаниями на этот счет.

Типичный механизм ценообразования предполагает как знание настоящего, так и наличие прогноза на будущее. Даже в тех случаях, когда экзогенные физические факторы, определяющие цену, изменяются непрерывно, изменения прогнозов мгновенны и кардинальны. В ситуации, когда физический сигнал пренебрежимо малой мощности и длительности – «росчерк пера» - провоцирует столь резкое изменение прогнозов (причем дело усложняется тем, что не существует никакого учреждения, в задачу которого входило бы привнесение в процесс инерции), определенная на основе прогнозов цена может как упасть до нуля, так и вознестись до небес – с ней вообще может произойти все, что угодно.

Несостоятельность метода торговли с фильтрами [341]

Вряд ли кому-нибудь может показаться, что сама по себе идея о дискретности цен обладает какой бы то ни было предсказательной силой. Однако эта идея сыграла решающую роль в ниспровержении и последующем погребении метода торговли с применением «фильтров», изобретенного С. Александером [4]. В принципе,  - процентный фильтр представляет собой прибор, который постоянно отслеживает изменения цен, записывает все локальные минимумы и максимумы и дает сигнал о покупке, когда цена впервые достигает локального минимума плюс в точности , или о продаже, когда цена впервые достигает локального максимума минус в точности  . Поскольку постоянное наблюдение не совсем практично, Александер предложил отслеживать только последовательность среднесуточных максимумов и минимумов, принимая как данность допущение, согласно которому изменение цен представляет собой непрерывную функцию. Применяемый в данном методе алгоритм  отыскивает те дни, в которые максимум впервые превышает минимум какого-либо из предыдущих дней плюс . Предполагается, что в некоторый момент времени суток  цена в точности совпадает с упомянутым минимумом плюс ; именно в этой точке фильтр дает сигнал о покупке. Аналогичным образом выдаются сигналы о продаже. Александер пришел к эмпирическому заключению, что сигналы фильтра о покупке или продаже приносят бóльшую отдачу, чем обычная стратегия «купи и держи».

В действительности же, как я указывал в [341] (с. 417), 24 – часовые сутки, на которые приходится сигнал фильтра о покупке, окажутся, скорее всего, именно теми сутками, в течение которых происходит значительный общий рост цен. Многие такие сутки характеризуются резким подъемом (в буквальном смысле, взлетом) цен, который происходит либо за ночь, либо за те периоды, когда торговые операции приостанавливаются в дневное время по инициативе правления биржи. Таким образом, фильтр Александера должен выдавать сигнал о покупке как раз в те моменты, когда он, скорее всего, окажется «выключен»! Он, разумеется, выдаст соответствующий сигнал, как только его снова «включат», однако покупная цена в этот момент наверняка окажется значительно выше, чем рассчитывал Александер. 

Еще один возможный вариант: часто бывает так, что изменения цен остаются более или менее непрерывными в результате преднамеренных действий какого-нибудь биржевого маклера, выполняющего свои должностные обязанности, заключающиеся в поддержании равновесия между покупателями и продавцами  и  в «обеспечении непрерывности рынка», и покупающего или продающего из своего собственного кармана. Когда такому маклеру не удается обеспечить непрерывность, он обязан предоставить правлению письменное объяснение, поэтому маклеры обычно предпочитают сгладить образовавшуюся разрывность искусственным образом. Разумеется, получаемые при этом прибыли делятся между приятелями, тогда как остальным клиентам приходится покупать по более высокой цене.

Третья возможность: определенные среднесуточные изменения цен имеют определенные пределы, причем среднесуточный предел может сдвигаться на несколько дней без проведения торговых операций, препятствуя попыткам искусственным образом его» остановить».

Теоретические и экспериментальные исследования (о которых я очень скоро расскажу) убедили меня в том, что вышеописанные отклонения весьма значительны, и что вычисленное Александером превосходство торговли с фильтрами над обычной практикой иллюзорно. Александер [5] проверил свои выводы еще раз и убедился, что я был прав, и что метод фильтров не дает никаких преимуществ перед общепринятым «купи и держи». Фама и Блюм [138] провели тщательное «посмертное вскрытие» метода Александера посредством замены индексов цен индивидуальными ценовыми сериями, окончательно его тем самым похоронив. Этот эпизод подчеркивает опасность заблуждения, заключающегося в том, что я называю «несостоятельностью допущения о непрерывности цен».

Выигрышные «мартингалы» представляются мне похожими на вечный двигатель. К чести гипотезы Башелье об эффективном рынке надо сказать, что она задолго до описываемых событий предсказала, что метод фильтров работать не будет; а вот броуновская модель Башелье оказывается серьезно дискредитирована тем, что с ее помощью невозможно объяснить, почему все-таки создается впечатление, что фильтры работают. Мои же конкретные модели заслуживают себе высокую репутацию, так как позволяют проанализировать ситуацию и выявить недостатки этого и других тщательно разработанных способов верного обогащения.

Статистические «подпорки»

Непригодность броуновского движения в качестве модели изменений цен вызвала две очень разные реакции. С одной стороны, появилось множество всевозможных специально для данного случая созданных «подпорок». Если броуновская гипотеза о гауссовом характере изменения цен не удовлетворяет какому-либо статистическому критерию, то можно попытаться так или иначе ее модифицировать и продолжать попытки до тех пор, пока упомянутый критерий не будет удовлетворен.

Суть одной весьма популярной подпорки заключается в цензурировании, лицемерно называемом «исключением статистических резко отклоняющихся значений». То есть производится отделение обычных «малых» ценовых изменений от больших ценовых изменений, на которых и спотыкаются фильтры Александера. Первые считаются случайными и гауссовыми, им посвящаются все перлы экономистского красноречия и изобретательности… словно кому-то до всего этого есть дело. Последние же рассматриваются отдельно – как «нестохастические». Сутью еще одной популярной подпорки является предположение о смеси нескольких случайных совокупностей: если некая величина  не является гауссовой, то, возможно, она представляет собой смесь двух, трех или бóльшего количества гауссовых случайных величин. Следующая подпорка использует нелинейные преобразования: если некая величина  положительна и совершенно не желает следовать гауссову распределению, то, может быть, гауссовым окажется , а если величина  симметрична и негауссова, то, возможно, - чем черт не шутит! – критерию удовлетворяет  . Очередной подобный «метод» (который я, кстати, рассматриваю как попытку самоубийства со стороны предложившего его статистика) предполагает, что изменения цен следуют броуновскому движению, однако параметры этого движения подвержены неконтролируемым вариациям. Последнюю подпорку просто-напросто невозможно опровергнуть, из чего философ Карл Поппер делает вывод, что она вообще не может являться научной теорией.

Скейлинговый принцип в экономике [341]

Примером противоположного подпоркам подхода может служить моя собственная работа. Она применима к самым разным экономическим данным, однако сам принцип удобнее всего объяснить именно в контексте цен.

Скейлинговый принцип изменения цен. Пусть функция  описывает изменения цены; тогда функция  обладает следующим свойством: распределение ее приращения за произвольный временной интервал  (т.е. ) не зависит от , если не считать масштабного коэффициента.

Прежде чем мы углубимся в изучение следствий из этого принципа, пройдемся по контрольному списку свойств, какими полагается обладать любому уважающему себя научному принципу.

Научный принцип должен давать предсказания, которые можно подтвердить экспериментально. Этому требованию наш принцип отвечает (в чем мы вскоре убедимся), причем отвечает весьма точно.

Когда научные принципы выводимы из других теоретических соображений в соответствующих областях науки, это всегда производит очень хорошее впечатление. Скейлинговый принцип изменения цен можно вывести из общей (не обязательно стандартной) формулировки доказательства центральной предельной теоремы, однако в рамках стандартной экономики его еще никто не выводил. Единственно доступные «объяснительные» доказательства рассматриваемого принципа [351,  363] расценивают его как следствие из применимости масштабной инвариантности к экзогенным физическим переменным. Доказательства эти, однако, нельзя назвать столь же хорошо обоснованными, как результат, который они призваны подтвердить.

Наконец, даже при полном отсутствии действительного объяснения, всегда приятно видеть, что новый научный принцип не вступает в открытый конфликт с более ранними предположениями. В этом смысле обсуждаемый нами скейлинговый принцип ведет себя достаточно невинно. Вопрос, на который он дает ответ, никогда ранее не поднимался, так что спорных мнений выразить никто не успел. В данном случае, вся масштабная инвариантность, похоже, сводится к одному – единственному утверждению: на реальных рынках в условиях конкуренции не существует особенных временных интервалов. Заметные невооруженным глазом отличия того или иного времени суток, дня недели (или времени года в случае сельскохозяйственных товаров) так или иначе компенсируются либо исключаются из рассмотрения. В то время как все обычные «подпорки» броуновского ценообразования предполагают наличие неких привилегированных временных масштабов, мой принцип всего лишь указывает на то, что не существует «достаточных причин» полагать, что какой-то временной масштаб окажется более привилегированным, нежели любой другой.

Синдром бесконечной дисперсии

Как бы то ни было, нам предстоит теперь воплотить скейлинговый принцип в действительность с тем, чтобы получить результат, отличный от броуновского движения. Для достижения этой цели я сделал весьма радикальный шаг: допустил, что приращения  имеет бесконечную дисперсию. До выхода в свет моих работ никто особо не задумывался при написании фразы «обозначим дисперсию через ». О предшествующем этой фразе допущении, что величина  конечна, даже не упоминалось … и совершенно справедливо не упоминалось, поскольку нам никогда не удастся дописать до конца научную работу, если мы будем перечислять все используемые нами допущения, безотносительно к степени их «общепринятости». О причинах такой своей радикальности я расскажу позже в этом же разделе. Хотя одна из причин настолько очевидна, что о ней даже не стоит и говорить: успешное допущение  существенно облегчает для меня введение в обиход кривых бесконечной длины и поверхностей бесконечной площади.

Наблюдаемое отклонение в поведении выборочной дисперсии изменения цен. «Типичные значения»,  используемые для выведения итоговых данных, представляет собой наименее изощренный уровень описательной статистики, однако когда дело доходит до описания изменений цен, обычные итоговые отчеты оказываются необычайно запутанными и абсолютно ненадежными. В самом деле, используя выборочное среднее для измерения параметра сдвига, а выборочное среднеквадратическое значение – для измерения дисперсии, мы обычно руководствуемся убеждением, что эти величины представляет собой «устойчивые характеристики, которые, в конце концов, сойдутся к неким общим для всей совокупности значениям. Однако из рисунка, помещенного в моей статье [352], видно, что поведение упомянутых величин в случае цен оказывается чрезвычайно уклончивым:

А.  Значения среднего квадрата, соответствующие различным длинным подвыборкам, часто имеют различный порядок величины.

Б.  При увеличении размера выборки средний квадрат теряет устойчивость. Он начинает беспорядочно метаться то вверх, то вниз, при этом демонстрируя, однако, общую тенденцию к увеличению.

В.  Основной вклад в величину среднего квадрата осуществляется. Как правило, всего лишь несколькими квадратами. Если удалить эти так называемые резко отклоняющиеся значения, то оценка дисперсии часто изменяется на порядок.

Гипотеза о нестационарности. Эти свойства, взятые в совокупности – как, впрочем, и любое из них в отдельности, - использовались обычно для демонстрации всем интересующимся нестационарности процесса. Мое предварительное контрпредложение заключалось в том, что сам процесс в действительности стационарен, однако при этом чрезвычайно велик неизвестный теоретический второй момент. Если допустить, что этот момент велик, но конечен, то выборочные моменты сходятся согласно закону больших чисел, однако сходятся чрезвычайно медленно, и значение предела этой сходимости не имеет практически никакой реальной ценности.

Принцип бесконечной дисперсии. Мое следующее контрпредложение заключалось в объявлении среднего квадрата совокупности бесконечным. Те читатели, кто продирался сквозь настоящее эссе с самого начала, я уверен, давно свыклись с возможностью выбора между «очень большим» и «бесконечным», однако те, кто открыл книгу именно на этом месте, возможно, пребывают в ином расположении духа, - в ином расположении духа пребывали, как выяснилось, и мои читатели в 1962 г.   Всякому, кто получил обычное статистическое образование, бесконечная дисперсия представляется в лучшем случае чем-то жутковатым, а в худшем – эксцентричным. В действительности же, если «бесконечное» и отличается чем-то от «очень большого», то, судя по выборочным моментам, эту разницу заметить невозможно. Кроме того, из бесконечной дисперсии величины  никоим образом не следует, что сама величина  не может быть конечной, а ее вероятность – равной 1. Например, переменная плотности Коши  почти наверное конечна, однако имеет бесконечную дисперсию и бесконечное математическое ожидание. Таким образом, вопрос о выборе между переменными с очень большой и бесконечной дисперсией не следует решать   a priori; решение должно зависеть исключительно от того, какой из вариантов окажется более удобен в данном конкретном случае. Что до меня, то я принимаю идею бесконечной дисперсии, потому что она позволяет сохранить масштабную инвариантность.

Устойчивая модель леви [341]

В работе [341] я сочетаю скейлинговый принцип с вполне приемлемой идеей, суть которой заключается в том, что последовательные изменения цен независимы с нулевым ожиданием; кроме того, я допускаю здесь, что дисперсия ценовых изменений бесконечна. Из краткого математического рассуждения вытекает предположение о том, что изменения цен подчиняются устойчивому распределению Леви, о котором говорится в главах 32, 33 и 39.

Это предположение оказывается справедливым в весьма широком диапазоне. В первых испытаниях [341,  352] мы применяли его ко многим товарным ценам, к некоторым процентным ставкам, а также к курсам кое-каких ценных бумаг XIX века. Позже Фама [136] подтвердил его применимость к колебаниям курсов современных ценных бумаг, а Ролл [498] – к изменениям прочих процентных ставок. Здесь же нам придется удовлетвориться одной – единственной иллюстрацией (рис. 470).

Рис. 470. Данные, подтверждающие наличие масштабной инвариантности в экономике, оригинальный вариант

К этой старой иллюстрации (которая воспроизводится здесь по [341]) я испытываю особую привязанность (несколько позднее я так же привязался к картинке, которая помещена в настоящем эссе на рис. 379). Здесь на одном графике показаны дважды логарифмические кривые положительных и отрицательных хвостов (больших отклонений) зарегистрированных изменений логарифмов цен на хлопок, а также функция совокупной плотности симметричного устойчивого распределения с показателем  (в действительности этот показатель представляет собой несколько завышенное значение размерности ). По ординате откладывается относительная частота случаев, когда изменение одной из определяемых ниже величин  превышало изменение абсциссы.

Скопируйте эту иллюстрацию на кальку и подвигайте ее по горизонтали. Вы обнаружите, что теоретическая кривая совпадает с любой из эмпирических кривых с точностью до незначительных отклонений общей формы. Именно такой результат и постулируется в моем скейлинговом принципе!

Отклонения вызваны, по большей части, небольшой асимметрией в распределении. Согласно этому важному наблюдению, должны существовать асимметричные варианты устойчивого распределения.

На графике отображены следующие серии данных (положительные и отрицательные значения  рассматривались в каждом случае отдельно):

а)  , где  - ежедневный курс на момент закрытия Нью-Йоркской  хлопковой биржи, 1900 – 1905 гг. (Данные предоставлены Министерством сельского хозяйства США.)

б)  , где  - индекс ежедневных цен на хлопок на различных биржах США на момент закрытия, 1944 – 1958 гг. (данные предоставлены Хендриком С. Хаутаккером.)

в)  , где  - курс на момент закрытия Нью-Йоркской  хлопковой биржи 15 числа каждого месяца, 1880 – 1940 гг. (Данные предоставлены Министерством сельского хозяйства США.)

Прогнозирующая сила модели

Прогнозирующая сила скейлингового принципа изменения цен базируется на одном важном открытии, которое описано ниже. Для начала построим распределение среднесуточных изменений цен за пятилетний период со средней изменчивостью цен. Экстраполируя теперь это распределение на среднемесячные изменения цен, мы обнаружим, что его  график проходит как раз через точки, соответствующие всевозможным экономическим спадам, депрессии и т.д. Этот график учитывает все наиболее значительные события, произошедшие за почти столетний период в истории весьма непостоянного рынка товаров первой необходимости.

В частности (см. рис. 470), процесс, управляющий изменением цен на хлопок, остается приблизительно стационарным на протяжении относительно долгого рассматриваемого периода. Это поразительное открытие лучше всего представить в два этапа.

Первый критерий стационарности. Из рис. 470 видно, что и аналитическая форма процесса изменения цен, и значение  остаются неизменными. Бесспорно, стоимость денег и прочие подобные вещи претерпели значительные изменения, однако общие тенденции пренебрежимо малы по сравнению с флуктуациями, с которыми мы здесь сталкиваемся.

Второй критерий стационарности: исправление ошибки, присутствующей на рисунке 470. Необходимость введения второго критерия стационарности возникла благодаря счастливой случайности. Кривые   и   (равно как и ) на рисунке смещены относительно друг друга по горизонтали. Поскольку смещение в дважды логарифмических координатах соответствует в естественных координатах изменению масштаба, это расхождение привело меня в [341]  к тому, что я почти согласился с мнением экономистов, полагавших, что в 1900 г. распределение ценовых изменений было иным, нежели в 1950. Я считал тогда, что распределение сохранило свою форму, но его масштаб изменился (уменьшился, если быть точным).

Однако, как оказалось, в этой моей уступке общественному мнению не было никакой необходимости. Дело в том, что данные, по которым строились кривые  и , были неверно прочитаны (см. [368]). После внесения необходимых поправок кривые  и  оказались практически тождественны кривым  и .

Не буду отрицать: на первый взгляд, приведенные на рисунке данные создают впечатление значительной нестационарности. В действительности это не так, потому что упомянутое первое впечатление будет, скорее всего, сформировано на основе убеждения, что описываемый процесс имеет гауссову природу. Я предлагаю альтернативу нестационарному гауссову процессу – и этой альтернативой является процесс устойчивый и стационарный, но совершенно не гауссов.

Вывод

Насколько мне известно, ни одна экономическая модель еще не давала прогнозов, сравнимых по успешности с моими.