32 СУБОРДИНАЦИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГАЛАКТИКИ

Центральной темой этой и следующей глав являются скопления галактик (эту тему мы уже затрагивали в главах 9, 22 и 23). Пользуясь известными методами, мы обобщим пылевидные множества из предыдущей главы на плоскость и пространство. В настоящее главе мы будем в основном заниматься пространственной пылью Леви. Следуя Бохнеру, мы введем эти фракталы посредством «обработки» броуновского движения по методу «субординации». Вдобавок к пыли Леви мы познакомимся с полетом Леви, представляющим собой нестандартное случайное блуждание. Начинается глава с неформального предисловия, посвященного кластерам случайного блуждания.  Далее, путем обобщения на неслучайные структуры объясняется и обосновывается метод субординации. Утверждения, сделанные в предисловии, обосновываются в последнем разделе.

Предисловие: кластеры случайного блуждания

Цель моей ранней модели скопления галактик состояла в демонстрации распределения масс со следующими характерными особенностями:  масса , заключенная в сфере, центр которой совпадает с центром распределения, удовлетворяет соотношению , где ;  распределение удовлетворяет условному космографическому принципу в его статистической форме.

Промежуточные остановки полета Рэлея. В качестве предварительного шага рассмотрим конструкцию, ни фрактальная, ни топологическая размерность которой не совпадает с размерностями скоплений галактик. Начиная с некоторой точки  в пространстве, ракета, выполняющая полет Рэлея, совершает прыжок в некотором изотропном случайном направлении. Длительность каждого прыжка составляет , а расстояние  до следующей остановки  представляет собой случайную гауссову величину, удовлетворяющую условию . Далее ракета прыгает в точку  - такую, что величины

и

представляет собой независимые и тождественно распределенные векторы. И так далее.

Если предположить, что движение ракеты не ограничено ни началом, ни концом, следует добавить и предыдущие остановки . Однако изменение направления течения времени никак не влияет на случайное блуждание, а следовательно, достаточно изобразить две независимые траектории с началом в точке .

След нашей ракеты (включая и «инверсионный след», который она оставляет при прыжках) представляет собой случайное множество. Таким же случайным множеством является и совокупность точек промежуточных остановок, рассмотренная без учета порядка их посещения. Оба множества следуют совершенно одинаковому распределению при рассмотрении с любой из точек . Согласно терминологии, введенной в главе 22, оба множества  удовлетворяют условному космографическому принципу  в его должной статистической форме.

Погрузка. Тождественно распределенные и статистически независимые массы приписываются случайным образом к каждой промежуточной остановке полета Рэлея, распространяя на массы условную стационарность.

Размерность . Широко известно, что расстояние, которое ракета Рэлея преодолевает за  прыжков, возрастает пропорционально . Вследствие этого количество остановок, оказавшихся внутри сферы радиуса  с центром в точке , выражается формулой . Показатель здесь находится в соответствии с тем, что размерность множества промежуточных остановок  составляет . Глобальная плотность, в частности, обращается в нуль.

Броуновское движение. Интерполируя полет Рэлея в непрерывном времени, получаем броуновский след, который (см. главу 25) представляет собой непрерывную кривую с размерностью . Таким образом, модель полета Рэлея является, в сущности, фрактальной кривой , удовлетворяющей условному (а отнюдь не усиленному) космографическому принципу. Последнее заключение вполне удовлетворительно, однако значения  и  неприемлемы.

Обобщенная плотность. Если нагрузить броуновский след между точками  и  массой , то массу  можно представить как произведение времени, проведенного ракетой внутри сферы радиуса , на равномерную обобщенную плотность .

Расширение Вселенной. В рамках стандартных дискуссий исходное распределение имеет равномерную плотность . По мере равномерного расширения Вселенной плотность  уменьшается, однако распределение остается равномерным. С другой стороны, общепринятое состоит в том, что любое другое распределение при расширении изменяется. Равномерно нагруженный броуновский след конструктивно показывает, что это заключение неверно: плотность , конечно же, изменяется при расширении, однако остается определенной и равномерной.

Таким образом, в вопросе о возможном расширении Вселенной, промежуточные остановки Рэлея занимают промежуточную позицию. Это свойство остановок сохраняется и в том случае, когда размерность  уменьшается при замене полета Рэлея на полет Леви, который мы сейчас и рассмотрим.

Промежуточные остановки полета Леви. Нецелочисленные размерности . Моя модель распределения галактик, основанная на случайных блужданиях, способна реализовать любую желаемую фрактальную размерность  с помощью пыли, т.е. множества, топологическая размерность которого равна нулю. Для достижения этой цели я использую случайное блуждание, в котором математическое ожидание  бесконечно, поскольку величина  представляет собой гиперболическую случайную величину с внутренним пределом при  . Так, при  вероятность , а при  вероятность , где .

Важнейшим следствием такого рассуждения можно считать соотношение , где . Именно этого соотношения мы, собственно, и добивались. Оно допускает любое значение , какое только могут предложить теория или результаты наблюдений.

Отступление об устойчивости по Леви. При  масса, переносимая за временной интервал  (должным образом масштабированный), сходится к случайной величине, не зависимой от ; эта случайная величина была впервые исследована Полем Леви, и поэтому называть ее лучше всего «устойчивой по Леви» (см. главу 39). Отсюда, кстати, и термин «полет Леви», предложенный мною для обозначения процесса, лежащего в основе моей модели.

Поскольку , стандартная центральная предельная теорема здесь не годится, вместо нее следует применять специальную центральную предельную теорему. Эта замена влечет за собой довольно значительные последствия. Стандартная теорема «универсальна» в том смысле, что предел зависит только от величин  и . Нестандартная теорема не является универсальной. Через показатель  распределение  явным образом зависит от распределения прыжков.

В оставшейся части главы мы построим пыль, которая играет в отношении полета Леви ту же роль, какую броуновское движение играет в отношении полета Рэлея. Прямая интерполяция утомительно формальна, поскольку ей приходится придавать смысл распределению , применяемому вплоть до , где оно расходится. Непрямой же подход может оказаться не только простым, но и точным, если использовать процесс субординации. Этот процесс представляет собой отдельный интерес и открывает пути для многочисленных очевидных обобщений.

Полет коши и

Воспользуемся для представления процесса субординации наглядным примером. Если исходной кривой является броуновский след с размерностью , то для получения размерности  нам необходимо  найти способ понизить  на единицу. Имея дело с классическими фигурами евклидовой геометрии, добиться такого понижения очень легко. В случае плоскости достаточно взять ее сечение прямой, в случае З – пространства – его сечение плоскостью, а в случае 4 – пространства  - его сечение 3 – пространством. Из главы 23  нам известно, что то же правило годится и для случайных фрактальных творогов, а из главы 25 – что размерность броуновской функции из прямой в прямую равна , в то время как размерность ее нуль – множества и всех сечений, не перпендикулярных оси , равна .

Расширив этот метод вычитания 1 из  по формальной аналогии, можно заподозрить, что должным образом выбранные сечения броуновского следа должны, как правило, имеет размерность . Это  подозрение и в самом деле подтверждается (см. [148], с. 348). Более того, можно и нужно расширить упомянутый метод на плоские сечения следа в обычном 3 – пространстве и на трехмерные сечения следа в 4 – пространстве (обозначим его измерения через  и «юмор»).

Возьмем в качестве исходного броуновский след  из прямой в 4 - пространство и рассмотрим точки, координата «юмор» которых равна 0. Можно представить, что эти «серьезные» точки порождаются в том порядке, в каком они посещаются соответствующим броуновским движением, и что расстояния между этими посещаемыми точками независимы и изотропны. Следовательно, серьезные точки можно рассматривать как промежуточные остановки случайного полета, правила построения которого существенно отличаются от правил построения броуновского движения. Такое блуждание мы будем называть движением (или полетом) Коши. При заданных моментах времени 0 и  плотность вероятности вектора из точки  в точку  представляет собой число, кратное значению выражения

.

Формальное допущение  подтверждается в работах С. Дж. Тейлора [561, 562]. Полет Коши проиллюстрирован на одном из видов рис. 414.

Понятие субординации

Рассмотрим внимательнее построение из предыдущего раздела. Броуновское движение из прямой в  - пространство посещает «серьезные» точки в те моменты времени, когда одна из его координатных функций из прямой в прямую обращается в нуль. Но каждая из координатных функций представляет собой одномерное броуновское движение. Нуль – множества такой функции образуют множество с размерностью  (см. главу 25); вдобавок ко всему из взаимной независимости межнулевых интервалов следует, что рассматриваемое нуль – множество есть линейная пыль Леви. Вывод: движение Коши есть не что иное, как отображение линейной пыли Леви на броуновское движение. Вспомните об очаровательном римском обычае под названием «децимация», заключавшемся в казни каждого десятого из некоторой недружественной группы людей, и вы увидите, что движение Коши – это результат своего рода фрактальной децимации. Первым этот процесс описал Бохнер [42], он же дал ему имя – субординация. (У Феллера [148] можно найти немало разрозненных, но весьма глубоких замечаний по поводу этого понятия.)

А пока заметим на будущее, что

.

Субординация применима и к неслучайным фракталам

Для более глубокого понимания природы фрактальной субординации применим ее к некоторым фрактальным кривым Коха и Пеано. (Как это ни странно, но настоящее обсуждение является, по всей видимости, первым случаем упоминания субординации и неслучайном контексте.)

Идея заключается в модификации посредством замены генератора (при неизменном инициаторе) не некоторое подмножество исходного генератора. Такая операция замещает предельное фрактальное множество (которое мы будем называть субординантом) на некоторое субординантное подмножество (или субординат). Рассмотрим сначала примеры, а затем введем весьма важное правило – правило умножения размерностей.

Пример с . Возьмем четырехзвенный генератор троичной кривой Коха (его мы применяли для построения фигуры на рис. 70). Если стереть второе и третье звенья, получится классический генератор троичной канторовой пыли (рис. 120). Таким образом, канторова пыль является субординантным подмножеством для трети коховой снежинки. Можно получить и другую субординантную пыль, не ограниченную прямой, если стереть, например, первое и третье из  звеньев генератора Коха. В любом случае субординация изменяет размерность  на . Если стереть только одно звено генератора, то субординантная пыль не окажется подмножеством прямой, хотя ее размерность равна .

Пример с . Возьмем четырехзвенную ломаную, получаемую на втором этапе построения кривой Пеано – Чезаро (рис. 98), и удалим второе и третье звенья. Новый генератор представляет собой не что иное, как сам интервал ! Таким образом, прямолинейный интервал является субординатом кривой Пеано – Чезаро (самым что ни на есть тривиальным!) Удалив иной набор из двух звеньев, получим фрактальную пыль с размерностью . Удаление одного звена дает множество с размерностью .

Умножение размерностей

В главах 6 и 7 мы упоминали о том, что кривые Коха и Пеано можно рассматривать как следы «движений», временной параметр  которых лежит в интервале  . Если в качестве примера взять генератор снежинки Коха, то это время определяется следующим образом: четыре звена генератора покрываются в те моменты времени, значения которых, разложенные по основанию 4, начинаются, соответственно, с 0, 1, 2 и 3. А, скажем, вторая четверть третьей четверти генератора покрывается в те моменты времени, значения которых, разложенные по основанию 4, начинаются с . Рассматриваемые в виде движений, кривые Коха и Пеано сами являются «фрактальными отображениями» интервала  . В этом смысле воздействие упоминаемой ранее децимации звеньев генератора заключается в том, чтобы удалить те значения , которые содержат цифры 1 и 2 (или 0 и 3), ограничив тем самым параметр  значениями, принадлежащими определенной канторовой пыли на интервале .

Следовательно, мы можем охарактеризовать наши субординатные подмножества кривых Коха и Пеано как фрактальные  отображения фрактального подмножества моментов времени. Совершенно очевидно, что такое подмножество представляет собой канторову пыль; назовем его субординатором.  Его размерность равна . Обобщая, получаем следующее не требующее дополнительных объяснений соотношение:

.

Это также обобщает и то соотношение, которое характеризует движение Коши. При рассмотрении сечений и пересечений мы уже встречались с суммами размерностей. Теперь же оказывается, что в нашем замечательном «исчислении» смысл имеют не только суммы, но и произведения размерностей.

Разумеется, это правило имеет исключения, аналогичные тем, которые являются исключениями из правила о сложении коразмерностей при пересечении.

Линейная пыль Леви в роли субординатора

Линейная пыль Леви из главы 31 была первым субординатором у Бохнера, и с тех пор чистая математика использует ее в качестве субординатора настолько широко, что соответствующую лестницу Леви часто называют устойчивой субординаторной функцией. Для получения подобных субординаторных множеств применяется самоподобный субординанд – такой, как броуновское или дробное броуновское движение.

Заметим, что, хотя для броуновского движения характерна размерность 2, броуновское движение, ограниченное прямой, имеет размерность 1. Следовательно, правило из предыдущего раздела принимает несколько иной вид

.

В общем случае для дробного броуновского движения характерна размерность , однако

.

Таким образом, размерность  пространства, которое может быть полностью заполнено этим субординатным множеством, не превышает целой части числа .

Броуновское движение в роли субординанда. Наиболее значительным субординандом является броуновский след. Броуновское отображение моментов времени, ограниченных линейной пылью Леви с размерностью , лежащей в интервале между 0 и 1, представляет собой пространственную пыль с произвольной размерностью , лежащей в интервале между 0 и 2. Представляется уместным назвать такое отображение пространственной пылью Леви.

Учитывая, что и паузы пыли – субординатора, и приращения субординанда статистически независимы, можно предположить, что приращения процесса субординации также статистически независимы. А учитывая, что длины пауз субординатора удовлетворяют соотношению  и что за время паузы продолжительностью  броуновское движение пройдет расстояние порядка , можно предположить, что паузы пространственной пыли, по всей видимости, удовлетворяют соотношению . Можно показать, что так оно в самом деле и есть.

Упорядоченные скопления галактик

Из формулы  мы видим, что субординантная пыль реализует процесс, упомянутый в начале этой главы.

Размерности. Сама пыль имеет размерность . Если отображения концевых точек каждой линейной паузы соединить интервалами, то получится след Леви; его размерность равна  (такую же размерность мы получили, исследуя деревья в главе 16).

Корреляции. След Леви способен линейно упорядочивать порождаемые им галактики; при этом каждая галактика взаимодействует только со своими непосредственными соседями. Каждая же пара соседей ведет себя независимо от других пар. В этом смысле полет Леви сродни ничем не оправданной замене нерешаемой задачи  тел на вполне удобоваримую совокупность многих задач двух тел. Результат мог бы оказаться донельзя нереалистичным, однако не оказался. В работе [383] (полное описание которой можно также найти в монографии П. Дж. Э. Пиблса [467], с. 243 – 249) я показал, что полет Леви приводит к двух- и трехточечным корреляциям на небесной сфере, тождественным тем, которые были получены Пиблсом и Гротом в 1975 г. методом подбора; см. [467].

Рис. 409. В роли художника – ошибка в программе, опус 2

Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 105.

Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.

Очевидно, что по замыслу в «правильном рисунке 105 должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался скрыт от глаз, причем никакого другого порядка также не наблюдается.

То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд – вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.

Рис. 410 и 411. Скопления галактик согласно ранней модели Мандельброта (размерность ). Полет Леви и его промежуточные остановки

Полет Леви в грубом виде можно представить как последовательность скачков, разделенных остановками. Непосредственный интерес для нас в рамках этой главы представляют последние, однако и скачки являются необходимым элементом построения.

Например, изображенный на верхних (черных на белом) рисунках след движения включает в себя и «инверсионный след», оставляемый летящей ракетой. Трехмерный след показан с помощью двух его проекций на перпендикулярные плоскости. Оригинал можно представить, расположив страницы книги перпендикулярно друг другу.

Нижние рисунки (белые на черном) получены из верхних – в процессе исчезли отрезки, представляющие траектории скачков, а изображение было преобразовано в собственный негатив. Каждая промежуточная остановка символизирует собой звезду, галактику, либо просто некий обобщенный сгусток материи.

Говоря точнее, прямолинейные отрезки на верхних (черные на белом) рисунках имеют следующую особенность: их направление в пространстве случайно и изотропно (т.е. параллельно вектору, соединяющему начало пространственных координат с некоторой точкой, выбранной наугад на поверхности сферы). Различные отрезки статистически независимы, а их длины следуют распределению вероятностей , за исключением того, что  при . Значение  близко к значению , найденному для реальных галактик.

Подавляющее большинство отрезков слишком малы, чтобы их можно было разглядеть. На самом деле мы просто накрыли плоскость однородной решеткой и отметили те ячейки, на которые приходились одна или более остановок. Иными словами, каждая точка представляет собой целый миникластер.

Кроме того, сами миникластеры также собираются в скопления, причем независимо от значения . Они демонстрируют настолько ярко выраженные иерархические уровни, что трудно поверить в то, что в рассматриваемую модель не заложено никакой явной иерархии, кроме присущего ей изначального самоподобия.

Для дальнейшего развития темы следует упомянуть и о том, что на всех иллюстрациях в данной подборке представлены начала двух различных полетов, прямого и обратного, и что эти полеты суть не что иное, как две статистически независимые копии одного процесса. Если переместить начало координат в точку какой-либо другой остановки, то и новые половины процесса будут, по всей видимости, независимыми. Следовательно, все промежуточные остановки обладают абсолютно равными правами на звание Центра Мироздания. Эта особенность составляет сущность условного космографического принципа, провозглашаемого мною в настоящем эссе.

Рассматриваемый метод никоим образом не предназначен для объяснения действительного способа образования галактик, однако вполне справляется с продвижением моей основной идеи, заключающейся в том, что условный космографический принцип ничуть не противоречит явной иерархической кластеризации. Можно предложить очень много подобных конфигураций, причем самых разнообразных, пусть даже ни одна из них не окажется «сшита по мерке».

Рис. 412. Неслучайная субординация: кластеризованная фрактальная пыль  с размерностью ; субординат кривой Коха с размерностью

Метод рекурсии, лежащий в основе построения кривой Коха, можно модифицировать так, чтобы кривая систематически терпела разрыв, в результате чего мы получим пыль, обладающую той же размерностью, что и исходная кривая , но с совершенно иной топологией и внешним видом.

Представьте себе резиновую ленту, первоначально соединяющую концы интервала , а затем растянутую в виде кохова генератора, с помощью которого мы построили фрактальную кривую с размерностью  на рис. 81. теперь закрепим резиновую ленту в угловых точках и разрежем посередине каждый из восьми прямолинейных отрезков; получим 16 кусков резины, которые сократятся до своей исходной длины . Свободные концы этих кусков также закрепим и повторим процесс. Окончательным результатом будет иерархически кластеризованная пыль с  и , вследствие чего .

Такой способ построения, по сути дела, позволяет нам заранее пометить все те звенья генератора, которые затем, на следующем этапе кохова построения, будут удалены. В тексте главы этот процесс называется субординацией. В итоге остаются лишь те точки, в которых оказывается движение Коха в моменты времени, принадлежащие некоторому подмножеству с фрактальной размерностью . А то, что , спишем на особый случай правила умножения размерностей, рассматриваемого в соответствующем разделе настоящей главы.

Заметим, что все точки изображенной здесь пыли неизменно упорядочены вдоль кривой Коха, подмножеством которой и является наш генератор. Кроме того, нетрудно найти частотное распределение длин, до которых сокращаются резиновые отрезки, между последовательно расположенными точками закрепления. Количество длин  приблизительно пропорционально , где . Обратите внимание, что на рис. 410 и 411 то же частотное распределение дает совершенно иную картину.

Рис. 414. Понижение размерности  с помощью субординации. Разделение скоплений Леви

Степень кластеризации плоской пыли Леви зависит от ее размерности . Этот эффект проиллюстрирован здесь путем обработки плоского броуновского следа  с помощью ряда последовательных субординаций Леви, каждая из которых (кроме первой) применяется к результату предыдущей. В конечном итоге получаем , т.е. последовательность размерностей субординатных пылей имеет следующий вид: 1,78 , 1,59; 1,41; 1,26; 1,12; 1; 0,89.

Лестницы Леви в правых нижних углах рисунков показывают, какую децимацию пришлось перенести временнóму параметру, чтобы мы могли получить соответствующую пыль из пыли с размерностью . При , близком к 2, еще вполне ясно можно различить «призрак» субординанда (непрерывного броуновского следа), однако при понижении  этот призрак тает прямо на глазах (см. главу 35).  Рост кластеризации вызван не сгущением всех точек вокруг немногих центров, а всего лишь исчезновением многих точек, что приводит к росту количества видимых иерархических уровней.

Рис. 415. Пыль Леви с размерностью : крупные планы

Первый рисунок (вверху слева) представляет собой вид из квадратного иллюминатора отдаленного космического корабля на звездное скопление, состоящее из 12 500 000 промежуточных остановок движения Леви. Переход к следующему по часовой стрелке виду символизирует уменьшение расстояния от корабля до центра скопления в  раза, соответственно уменьшается и размер поля зрения. Конструкция, видимая в иллюминатор, меняется в деталях, однако, в общем и целом остается неизменной. Это отнюдь не является для нас неожиданностью – рассматриваемое множество самоподобно.

Рис. 416. Круговой облет скоплений Леви с размерностью

Форма скоплений, образованных из остановок полета Леви в плоскости, очень сильно зависит от условий выборки, т.е. при построении большого количества моделей скоплений (пусть и с одинаковой размерностью) следует ожидать не меньшего разнообразия форм.

То же верно и для малого изолированного пространственного скопления Леви при рассмотрении его с различных сторон, что демонстрируют представленные здесь иллюстрации (начиная с верхней левой и далее по часовой стрелке).