30 ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Кульминацией настоящей главы станет объяснение иллюстраций 25 и 26, а ее главной темой – дробные броуновские функции от трех переменных с антиперсистентным показателем . Особо подробно мы остановимся на случае , а отправной точкой нам снова послужит значение .

Изоповерхности скалярных величин при турбулентности

Когда жидкость турбулентна, изотермальная поверхность, где температура в точности равна, скажем, , топологически представляет собой совокупность сфер. Однако здравый смысл подсказывает нам, что такая поверхность должна быть гораздо более иррегулярной, чем сфера или граница любого тела, описанного в евклидовой геометрии.

В голову приходит приведенная во второй главе цитата из Перрена, описывающая форму коллоидных чешуек, которые образуются при добавлении соли в раствор мыла. Сходство между этими двумя явлениями вполне может выйти за пределы простых геометрических аналогий. Может оказаться так, что чешуйка заполняет зону, в которой концентрация мыла превышает некоторый порог; кроме того, эта концентрация может выступать в качестве инертного индикатора очень развитой турбулентности.  

Как бы то ни было, исходя из аналогии с коллоидными чешуйками, можно предположить, что изотермальные поверхности представляют собой поверхности, близкие к фрактальным. Неплохо было бы выяснить, в самом деле это так, и – если так, то оценить их фрактальную  размерность. Для этого нам необходимо знать, как распределяются температурные изменения в жидкости. Коррзин [87], как и многие другие, сводит эту задачу к классической задаче, которой занимались в 40-х гг. Колмогоров и его коллеги. В некотором смысле эти исследователи блестяще справились с поставленной задачей; с другой стороны, можно сказать, что их постигла неудача. Для неспециалистов я привожу ниже краткий обзор упомянутых классических результатов.

Дельта – дисперсия бюргерса

Дельта – дисперсия величины  определяется в главе 21 как дисперсия приращения Х.Й.М. Бюргерс предположил, что дельта – дисперсия скорости между двумя заданными точками  и  пропорциональна . Этим простым приближенным постулатом определяется турбулентность Бюргерса.

Точной математической моделью функции Бюргерса является функция Пуассона, которая строится из бесконечно большого набора скачков направления движения, величин сдвига и интенсивности, задаваемых тремя бесконечными последовательностями взаимно независимых случайных величин. Что-то напоминает, не правда ли? Если не считать добавления переменной  к  и и замены одномерной высоты трехмерной скоростью, то гауссова функция Бюргерса в точности совпадает с функцией, на которой построена моя обыкновенная броуновская модель рельефа, описанная в главе 28.

Дельта – дисперсия колмогорова

В качестве модели турбулентности дельта – дисперсия Бюргерса не выдерживает никакой критики, причем самым убийственным из ее недостатков является то, что она не соответствует действительности с точки зрения анализа размерностей. Согласно выдержанной в размерностном духе аргументации, выдвинутой Колмогоровым (а также, одновременно с ним, Обуховым, Онсагером и фон Вайцзекером), возможны только два варианта: либо дельта – дисперсия универсальна, т.е. одинакова независимо от условий эксперимента, либо в ней нет никакого смысла. Для того чтобы быть универсальной, дельта – дисперсия должна быть пропорциональна . Подобные выводы можно встретить во многих источниках, а их геометрическую природу подчеркивал еще Биркгоф [37].

После первоначальных сомнений было установлено, что колмогоровская дельта – дисперсия удивительно хорошо объясняет турбулентность в океане, атмосфере и других больших объемах. (см. [174].) Это подтверждение знаменует собой триумфальную победу абстрактного априорного мышления над беспорядочностью сырых данных. Такая победа, несомненно, заслуживает (невзирая на многочисленные оговорки, к которым мы в главе 10 добавили несколько своих) того, чтобы о ней знал не только узкий круг специалистов.

Гауссова функция с колмогоровской дельта – дисперсией также выглядит подозрительно знакомой. В настоящем контексте, относящемся к скалярной (одномерной) температуре, эта гауссова функция представляет собой дробную броуновскую функцию из З – пространства в прямую с параметром . Таким образом, колмогоровское поле подразумевает антиперсистентность, тогда как земному рельефу больше по душе персистентность. Есть и более фундаментальное различие: в то время как параметр , необходимый для представления земного рельефа, является пока чисто феноменологическим, колмогоровское  уходит корнями в геометрию пространства.

В однородной турбулентности изоповерхности фрактальны [380]

Несмотря на свой триумф в предсказании равенства , подход Колмогорова обладает одним существенным недостатком: распределение разностей скорости или температуры в жидкости остается неизвестным, известно лишь то, что оно не может быть гауссовым.

Подобные негативные результаты, конечно, вызывают некоторые неудобства, однако редко кто отказывается от удобного во всех остальных отношениях допущения по столь незначительным причинам. В лучшем случае исследователи турбулентности просто ведут себя более осторожно при работе с гауссовой моделью: если (и когда) результаты вычислений оказываются логически невозможными, значит, модель неприемлема, если же все в порядке, то движемся дальше.

В работе [380] – тут мы возвращаемся к температуре – я сочетаю гауссово допущение с дельта – дисперсиями Бюргерса и Колмогорова. Можно, очевидно, надеяться, что выводы останутся верными и без учета гауссова допущения, поскольку они основываются не только на непрерывности и самоподобии.

В четырехмерном пространстве координат  температура  определяет функцию . График дробной броуновской функции – это фрактал размерности , причем многие из его сечений меньшей размерности представляет собой следующие, хорошо нам известные фрактальные множества.

Линейные сечения. Изотерма при фиксированных  и  состоит из точек, расположенных вдоль пространственной оси, на которой наблюдается некоторое значение . Точки образуют дробное броуновское нуль – множество, их фрактальная размерность  равна .

Плоские сечения. При фиксированных  и  кривая, отражающая изменение температуры вдоль оси , является дробной броуновской функцией из прямой в прямую, и ее размерность равна . При фиксированных  и  изотерма на плоскости определяется неявным уравнением . Такие изотермы также имеют размерность . Если не считать значения , они идентичны береговым линиям, рассмотренным в главе 28.

Пространственные сечения. При фиксированном  сечение представляет собой график функции , фрактал размерности . При  он, по определению, идентичен броуновскому рельефу на иллюстрациях в главе 28. При  - это дробный броуновский рельеф на тех же иллюстрациях.

Объяснение иллюстраций 25 и 26

При фиксированном  изоповерхность, определяемая неявным уравнением , представляет собой трехмерное обобщение береговой линии и демонстрирует нам новый вид фрактального множества с размерностью . Так,  в гауссовой неперсистентной турбулентности Бюргерса и  в гауссовой антиперсистентной турбулентности Колмогорова.  

Такие поверхности представлены на рис. 26, тайну происхождения которого можно, наконец, объяснить. Для контраста на рис. 25 изображена изоповерхность персистентной функции  с . Поверхности, из-за огромного количества вычислений, пришлось весьма сильно сгладить. Тот факт, что различие в значении  оказывает на общую форму поверхностей вовсе не такое радикальное влияние, как можно было ожидать, объясняется на с. 372.