VII СЛУЧАЙНОСТЬ

21 СЛУЧАЙ КАК ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ СОЗДАНИЯ МОДЕЛЕЙ

Хотя фундаментальные разделы фрактальной геометрии имеют дело исключительно с детерминированными конструкциями, истинный смысл и практическая значимость этих разделов остается неочевидной до тех пор, пока мы не исследуем случайные фракталы. И наоборот, изучение фракталов углубляет понимание природы случайности – по крайней мере, мне так кажется.

Первый довод в пользу введения случайности хорошо знаком любому ученому, и тем не менее, он – наряду с прочими, менее общеизвестными замечаниями общего характера – заслуживает отдельного комментария в настоящей главе. В следующей главе нам откроются новые горизонты, и мы убедимся, что введение случайности обусловлено также причинами, специфичными для теории фракталов.

 означает ожидание, а вероятность обозначается сокращением

Чуть ли не в каждой дисциплине принято свое собственное, отличное от других, обозначение для ожидаемого значения переменной . Мы в настоящем эссе будем придерживаться обозначения, принятого у физиков, , преимущество которого заключается в собственных оригинальных скобках.

Пусть дана некая функция  и ее приращение . Тогда величину  назовем дельта-средним, а величину  - дельта-дисперсией.

Стандартная роль случайных моделей

Вернемся к вопросу о протяженности побережья Британии. Как бы ни напоминала нам кривая Коха реальные географические карты, у нее есть один большой недостаток, с которым мы в почти неизменном виде сталкиваемся во всех ранних моделях реальных природных феноменов, рассмотренных в настоящем эссе. Ее элементы абсолютно идентичны между собой, а коэффициент самоподобия является частью масштаба и имеет вид

, где  - целое число, т.е. ,  и т.д.

Модель можно усовершенствовать, введя более сложные детерминированные алгоритмы. Такой подход, однако, не только слишком громоздок, но и обречен на неудачу, так как формирование любой береговой линии происходило в течение многих веков под влиянием многочисленных воздействий, которые, разумеется, никто не фиксировал и которые нельзя сейчас восстановить с какой бы то ни было степенью точности. Полное описание подобного процесса – совершенно безнадежная задача, и такие мысли лучше сразу выбрасывать из головы.

Физики – например, специалисты в теории броуновского движения – знают, как выйти из этого затруднительного положения. Они призывают на помощь статистику. В геоморфологии же без статистики и вовсе не обойтись. В самом деле, на молекулярное движение законы механики оказывают непосредственное влияние, а вот на геоморфологические структуры они влияют через посредство многочисленных и малоизученных факторов. Следовательно, у геоморфолога гораздо быстрее, чем у физика, возникнет искушение забросить подальше надежды на точное описание окружающей действительности и воспользоваться статистическими методами. В других областях, которые мы с вами намерены исследовать, современный уровень знаний о локальных взаимодействиях находится где-то посередине между соответствующими уровнями в физике и геоморфологии.

В поисках нужной степени случайной иррегулярности

Может ли случай быть причиной столь высокой степени иррегулярности, какую мы наблюдаем, скажем, в очертаниях береговых линий? Не только может, но и является; более того, во многих случаях степень случайной иррегулярности превосходит всякие разумные пределы. Словом, мы сильно недооцениваем силу случая. Физическая концепция случайности сформирована теориями, в которых случай играет существенную роль лишь на микроскопическом уровне, в то время как на макроскопическом уровне случай теряет свою значимость. У нас все будет не так: в масштабно-инвариантных случайных фракталах, о которых пойдет речь, важность случая одинаково велика на всех уровнях, включая и макроскопический.

Прагматический взгляд на случайность

Взаимоотношения между статистической непредсказуемостью и детерминизмом ставят перед исследователем множество захватывающих вопросов, однако в рамках настоящего эссе мы о них говорить не будем. Вместо этого мы вспомним о первоначальном значении английского словосочетания «at random», восходящем к времени средневековья, когда упомянутое словосочетание пришло в английский язык из французского. Поговаривают, что фраза «un cheval á randon» никак не связана ни с математической аксиоматикой, ни с лошадиной психологией, а означает всего лишь иррегулярное движение, направление которого всадник не в состоянии предсказать.

Таким образом, несмотря на то, что случайность продолжает вызывать в людях всевозможные квазиметафизические порывы, в данном эссе нас мало заботит (позаимствуем цитату из Эйнштейна), «играет ли Господь Бог с нами в кости». Теория вероятности – единственный доступный нам математический инструмент, с помощью которого мы можем составить хоть какую-нибудь карту непознанного и неуправляемого. К нашему счастью, инструмент этот чрезвычайно мощен и удобен, хотя порой и норовист.

От рекурсивности к случайности

Кроме того, теория вероятности отлично сочетается с рекурсивными методами, преобладающими в этом эссе. Иными словами, вторая половина эссе следует за первой без нарушения непрерывности. Мы и далее будем фокусировать наше внимание на прецедентах, обладающих следующей особенностью: и их математическое определение, и графический алгоритм допускают запись в виде некоторой «обрабатывающей программы», содержащей внутреннюю петлю, причем каждый проход этой петли добавляет новые детали к тому, что было получено при предыдущих проходах.

Знакомая нам петля, порождающая троичную кривую Коха, легко представима в виде такой обрабатывающей программы. Однако другие неслучайные фракталы требуют дополнительной «управляющей программы», значимость которой нам следует сейчас подчеркнуть. Ее функции неуклонно – хотя и весьма занятным образом – эволюционируют в сторону большего обобщения. Первый этап этой эволюции: некоторые генераторы Коха (как нам известно из пояснения к рис. 79) можно применять в двух вариантах, прямом  или обратном , то есть их обрабатывающая программа нуждается в каком-нибудь контроллере, который будет сообщать ей перед началом каждой следующей петли, какой генератор применять -  или . В общем же можно сказать, что различные управляющие последовательности порождают различные фракталы. Следовательно, при каждом последующем выборе величины  и соответствующей ей размерности  фрактальная петля  с рис. 79 представляет собой в действительности не одну кривую, но бесконечное (счетное) семейство кривых – по одному семейству на каждую управляющую последовательность. Контроллер может либо считывать эту последовательность с какого-нибудь носителя, либо интерпретировать некоторую компактную инструкцию вида «чередовать  и » или «применять на  - м этапе генератор  (или ), если  - й знак в десятичной записи числа  является четным (или нечетным)».

Случайность / псевдослучайность

Многие случайные фракталы строятся по точно такой же схеме: интерпретирующий контроллер + процессор. Этот факт часто оказывается неочевиден (иногда с целью создания впечатления большей сложности), однако в рассматриваемых нами прецедентах, определяемых явной рекурсией, он прямо-таки бросается в глаза.

Простейший контроллер называется «последовательность бросков симметричной монеты», однако я никогда его не использовал. Современное компьютерное изобилие предоставляет в наше распоряжение другой контроллер – «генератор случайных чисел». На его вход подается так называемая затравка – некоторое целое число с заданным количеством двоичных знаков . (Значение  определяется спецификой используемого оборудования; если ввести меньше, чем  знаков, то вакантные места заполняются слева нулями.) На выходе контроллера мы получаем некую последовательность из нулей и единиц. При моделировании игры Бернулли каждый знак выступает  в роли результата броска симметричной монеты. А игра, состоящая из 1 000 бросков монеты, представляет собой в действительности последовательность из 1 000 отдельных псевдослучайных знаков.

Можно, однако, предположить, что где-то существует большая книга из  страниц, в которой записаны все возможные результаты игры из 1 000 бросков, причем каждый результат на отдельной странице. Таким образом, становится возможным указать любую конкретную игру, просто выбрав соответствующую страницу из этой книги. Параметром случайности в этом случае является номер страницы, т.е. затравка.

Вообще говоря, число на выходе контроллера часто разбивается на цепочки, состоящие из  целых чисел. Поставив перед каждой такой цепочкой десятичную запятую, получим набор дробей , каждая из которых называется «случайной величиной, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1.

На выходе генератора реального случайного множества получается не единичная функция или фигура, но этакий «большой портфель» из  страниц, каждая из которых посвящена отдельной фигуре. Номер страницы и здесь выступает в роли затравки.

Затравки одного вида, как и одинаковые семена, порождают схожие структуры. Разумеется, среди семян попадаются и дефектные, прорастающие в весьма нетипичные растения, однако мы вполне можем ожидать, что подавляющее большинство растений, полученных из семян одного вида, окажутся похожими в главном, допуская при этом некоторые различия в деталях.

Генератор случайных чисел – поворотный момент в любом моделировании. До него выполняются одинаковые для всех случаев операции, связанные с наведением мостов между теорией чисел и теорией вероятности и никак не зависящие от конкретной программы. Эти операции представляет собой типичные образчики детерминированных преобразований, имитирующих случайность согласно предписаниям теории вероятности. После генерации случайных чисел следуют специфичные для каждого случая шаги, соответствующие целям и задачам данного конкретного моделирования.

Вполне естественным представляется переход от вышеописанных практических материй к полноценной рекурсивной вероятности. Главная перемена при этом заключается в замене дробей с конечным числом знаков вещественными числами. В роли затравок теперь выступают какие-то таинственные «элементарные события», которые в математике вероятности обозначаются буквой . Для «интерпретации»  в виде бесконечной последовательности Пейли и Винер [461] предлагают использовать обратную канторову диагонализацию.

Тщетное взывание к случайности и действительное описание

Из предыдущего раздела можно сделать вывод, что теория случайности не так уж и сложна. К сожалению, она и не так проста. Может даже закрасться мысль о том, что для построения модели береговых линий, свободной от недостатков, присущих кривой Коха, но сохраняющей ее достоинства, достаточно случайным образом деформировать различные участки кривой и изменить их размеры, а затем вновь сцепить их вместе в случайном порядке.

Подобное взывание к случайности позволительно разве что в предварительных исследованиях, каковым позволением мы вволю попользовались в некоторых ранних главах настоящего эссе. Это не порок, если конечно, сам факт такого взывания ясно осознается автором и не скрывается от читателя. В некоторых случаях оно даже может быть реализовано при моделировании. В других же случаях одно лишь искусственное насаждение случайности есть не более чем пустой жест. Безусловно, описание правил, которые порождают приемлемые случайные кривые, представляет собой очень нелегкую задачу, так как геометрические множества всегда вложены в пространство. Одним лишь случайным изменением форм, размеров и порядка участков береговой линии можно добиться только получения бесполезного набора элементов, которые никакими стараниями не удастся увязать в цельную картину.

Неограниченная и самоограниченная случайность

Итак, мы с вами обнаружили неформальный отличительный признак огромный практической значимости. Иногда наш контроллер, управляющий действиями процессора, волен запускать новые циклы, не утруждая себя проверкой результатов предыдущих циклов и не опасаясь при этом какого бы то ни было рассогласования. Можно сказать, что такие модели имеют дело с неограниченной формой случайности. В других моделях поздние этапы построения, так или иначе, ограничены результатами предыдущих этапов и/или/ случайность самоограничена геометрией пространства.

Поясним это различие на примерах. Возьмем такую несложную задачу из комбинаторики, как построение на плоской решетке некоторого количества - угольников с возможностью самопересечений. Генерацию таких многоугольников вполне можно поручить модели с ничем не ограниченной случайностью. Однако береговые линии самопересекаться не могут, и подсчет количества полигональных аппроксимаций береговой линии представляет собой задачу с сильно самоограниченной случайностью – задачу, решение которой до сих пор успешно ускользает и от лучших умов.

Так как задачи, связанные с самоограниченной случайностью, весьма сложны, в настоящем эссе они почти не затронуты (исключение составляет глава 36).

Гиперболические случайные величины

Неравномерная случайная величина  представляет собой всего лишь значение монотонной неубывающей функции . Обратная функция  называется вероятностью . (Что касается разрывов в функциях  и , то они требуют очень тщательно продуманных формулировок.)

В главах 6, 13 и 14 мы использовали в рассуждениях выражение . Его вероятностный аналог  называется гиперболическим распределением и фигурирует во многих последующих главах эссе. Свойство  весьма любопытно, но ни в коем случае не является поводом для паники. Оно оказывается  столь же желательным и легкоусвояемым, как и свойство  в главе 13. Обращаться с ним все же следует осторожно, однако технические подробности нас в данный момент не занимают, поэтому мы их опустим.

Типические размерности  и  случайных множеств

Понятие размерности случайного множества несколько отличается от того, к какому мы привыкли. В нашем «большом портфеле», объединяющем некоторую совокупность случайных множеств, каждая страница соответствует какому-либо множеству и, следовательно, имеет собственные значения  и , закрепленные именно за данным множеством. Эти значения меняются от одного образца (или страницы) к другому, но во всех рассматриваемых нами случаях их распределение остается простым.

Существует некоторое количество образцов с отклонениями («дефектных семян»), размерность  которых может принимать какие угодно значения, однако совокупная вероятность их проявления стремится к нулю. Все остальные множества характеризуются некоторым общим значением , называемым «почти истинным значением».

Я полагаю, что вышесказанное верно и для , и надеясь, что эта тема привлечет внимание математиков.

Почти истинные значения являются во всех отношениях «типичными» для данной совокупности множеств. Например, ожидаемое значение  оказывается равным почти истинному.

С другой стороны, следует даже в мыслях избегать отождествления этого значения с размерностью некоего «среднего» для данной совокупности множества. Давайте, к примеру, представим себе картину симметричного случайного блуждания и попробуем определить среднее блуждание. Если оно представляет собой процесс, при котором каждое последующее положение является средним от соответствующих положений всей совокупности блужданий, то такое среднее блуждание «нигде не блуждает»: точке так и не удается покинуть свое исходное положение. Следовательно, , тогда, как нам известно (см. главу 25), что почти для всех случайных блужданий . Единственным средним множеством, которое мы можем признать «безопасным» в смысле размерности, является множество, характеризуемое средним для всей совокупности значением ; безопасность этого определения  - в его цикличности.

Для оценки размерности  случайного фрактала сгодится любой метод, применяемый к неслучайным фракталам. Следует, однако, помнить о предупреждении, сделанном в главе 13: если часть фрактального множества, заключенная внутри шара радиуса  с центром внутри множества, стремится обладать мерой («массой»), удовлетворяющей соотношению , то  не обязательно является размерностью.