24 СЛУЧАЙНЫЕ ЦЕПИ И СКВИГ-КРИВЫЕ

В предыдущей главе показано, что можно рандомизировать процесс створаживания, никак не затрагивая при этом несущую пространственную решетку с базой . При случайном створаживании «вещество», находящееся в ячейке решетки на некотором -м этапе, остается в ней навсегда, только его распределение становится все менее и менее однородным. Процесс этот весьма прост, поскольку эволюция любой отдельно взятой ячейки совершенно не зависит от того, что происходит в других. Следует, однако, признать, что топология предельного фрактала определяется случайностью и свойствами пространства.

В этой главе мы узнаем, как можно ограничить случайное створаживание  таким образом, чтобы получающийся в результате фрактал обладал какими-либо заранее заданными свойствами связности. Например, если мы намерены построить модель береговой линии или речного русла, то нам потребуется на выходе кривая без самопересечений. Такой же результат необходим и в совершенно ином примере из весьма далекой от географии области – физики полимеров: вообразите себе чрезвычайно длинную молекулу, которая свободно плавает в неком растворителе, однако при всем желании не может в заданный момент времени занимать один объем пространства более чем однажды.

Пользоваться мы будем теми же рекурсивными методами, которые обеспечивают при створаживании получение связного множества без самопересечений; в качестве инициатора снова возьмем некоторую плоскую область (например, квадрат), а генератором будет некоторая совокупность меньших областей, содержащихся внутри инициатора. В главе 23 от этих меньших требовалось только не перекрывать друг друга, за исключением тех случаев, когда допустимы общие вершины или стороны. В настоящей же главе наличие общих вершин или сторон предписывается в обязательном порядке.

Общие вершины, рассматриваемые первыми, порождают «случайные цепи», которые представляют собой прямое обобщение некоторых кривых Коха или Пеано.

Что касается общих сторон, то от них берет начало гораздо более интересное и привлекательное семейство фракталов, представленное впервые в [393] и [394]. Одни представители этого семейства – «простые» кривые, неветвящиеся и не содержащие самопересечений, другие имеют вид петель и деревьев; кроме того, процесс может порождать и поверхности. Я предлагаю называть такие фигуры сквиг - кривыми и сквиг - поверхностями. 

Я отдаю сквиг - кривым предпочтение перед случайными цепями главным образом потому, что их меньшее непостоянство, по всей видимости, отражает некое фундаментальное свойство пространства.

Линейные сквиг – кривые можно считать приближенными моделями линейных полимеров и речных русел, петлеобразными сквиг – кривыми моделируются береговые линии, а древовидными – речные бассейны.

Случайные цепи и цепные кривые

Совокупность белых областей на рис. 71 можно рассматривать как цепь, составленную из треугольников, соединенных вершинами. Следующий этап построения заменяет каждый треугольник подцепочкой, целиком заключенной внутри него, и дает в результате цепь, составленную из меньших треугольников, снова соединенных вершинами. Такая последовательность вложенных друг в друга цепей сходится в пределе к кривой Коха. (Процедура напоминает построение цепей Пуанкаре в главе 18.)

Подобным образом можно поострить и многие другие кривые Коха – например, салфетку Серпинского (рис. 205); цепью в этом случае послужит фигура, остающаяся после удаления центральных треугольных трем.

Этот метод построения прекрасно рандомизируется – например, можно заменить треугольник двумя треугольниками с коэффициентом , как на рис. 71, либо тремя треугольниками с .

Простейшие сквиг – кривые [393]

Простейшей сквиг – кривой является случайная фрактальная кривая, построенная в [393, 394] и более подробно изученная в [473, 474, 475]. Эта модель русла реки, созданная по образу и подобию известных картинок из учебников по географии и геологии, на которых изображены последовательные этапы развития реки, промывающей себе путь через долину; с каждым этапом будущее русло приобретает все более четкие очертания.

Перед началом - го этапа река течет в «предсквиг – долине», составленной из ячеек правильной треугольной решетки со стороной . Разумеется, ни в одну ячейку нельзя наведываться более чем однажды, к тому же каждое звено в решетке должно касаться сторонами двух соседних звеньев, оставляя третью сторону «свободной».

На - м этапе эта предсквиг – кривая заменяется другой, более точной, построенной на интерполированной решетке со стороной . Очевидно, что предсквиг – кривая - го порядка обязательно содержит половину каждой стороны, общей для двух соседних звеньев - го порядка. Верно также строгое обратное утверждение, а именно: положение общих (несвободных) половин сторон однозначно определяет вид предсквиг – кривой - го порядка.

Симметрично – случайные сквиг – кривые. Будем выбирать половину стороны, которую следует оставить свободной, случайным образом, полагая, что каждый из вариантов равновероятен. Тогда число звеньев - го порядка внутри звена - го порядка равно 1 с вероятностью  или 3 с вероятностью . Среднее значение составит 2,5.

С каждым этапом долина сужается и в пределе асимптотически сходится в некую фрактальную кривую. Я, естественно, предположил, что размерность этой предельной кривой равна . Доказательство (весьма деликатное, надо сказать) можно найти в [473].

Асимметрично – случайные сквиг – кривые. Предположим, что вероятность того, что после разделения стороны треугольника на две половины поддолина выберет, скажем, «левую», не равна . Понятия «правый» и «левый» можно определять либо с позиции наблюдателя,  смотрящего в направлении вниз по реке, либо с позиции наблюдателя, находящегося в центре разделяемого треугольника. В первом случае  и может принимать значения от 1 до . Во втором случае  и может принимать значения от  до . В общей сложности допустимы все значения  от 1 до .

Альтернативные решетки и сквиг – кривые

Используя другие интерполированные решетки, можно получить сквиг – кривые иного вида. Во всех случаях, когда для идентификации предсквиг – кривой  - го порядка достаточно знать, в каких интервалах она пересекает границу между двумя ячейками   - го порядка возможно непосредственное обобщение. В качестве примера можно привести прямоугольную решетку, в которой отношение длинной стороны ячейки к короткой имеет вид , и каждая ячейка интерполируется в  ячеек, расположенных поперек исходной ячейки.

Иначе обстоит дело с треугольными решетками, ячейки которых интерполируются в  треугольников, или с квадратными решетками, где ячейки интерполируются в  квадратов. В обоих случаях интерполяция предсквиг – кривых требует дополнительных шагов.

При  (треугольная решетка) или  (квадратная решетка) достаточно одного дополнительного шага – вполне,  впрочем, естественного. В самом деле, представьте себе четыре «луча», исходящего из центра квадрата и разделяющих его на четыре части (либо шесть лучей, разделяющих треугольник на девять частей). Как только мы оставляем свободным один из этих лучей, поддолина оказывается полностью определена. Согласно моему описанию сквиг – кривых, луч, который следует оставить свободным, выбирается случайным образом, причем каждый из вариантов равновероятен. Размерности при этом принимают следующие значения:  (для треугольников, разделенных на девять частей) и  (для квадратов, разделенных на четыре части). Учитывая, что для простейших сквиг – кривых , можно заключить, что все сквиг – кривые характеризуются приблизительно одинаковой размерностью , значение которой находится в окрестности .

В тех случаях, когда ячейка разделяется на  частей, где  (для треугольников) или  (для квадратов), для определения поддолины необходимо вводить различные дополнительные факторы, отчего конструкция приобретает все более произвольный характер. При этом сущность сквиг – построения, понимаемая в свете рассуждений последующего раздела, оказывается потерянной.

Цепные кривые и сквиг – кривые: сравнение

Остановимся на минуту и припомним, что независимо от того, получаем ли мы фрактальную кривую цепным методом Чезаро или с помощью оригинального метода Коха, погрешность, возникающая при остановке процесса, распределяется вдоль кривой очень неоднородно. Полезным здесь может оказаться тот факт, что некоторые точки уже после конечного числа этапов подходят к своему предельному положению бесконечно близко. Это обстоятельство, к примеру, помогло Коху в отыскании простейшей кривой, не имеющей касательных ни в одной своей точке. Однако сущность понятия кривой становится гораздо яснее, если рассматривать кривую как предел полосы однородной ширины. Мои сквиг – кривые вполне отвечают этому условию.

Следующий пункт сравнения связан с числом произвольных решений, которые приходится принимать «создателю» при том и другом подходе. Подход Коха к построению неслучайных или случайных фракталов необычайно эффективен (он, в частности, позволяет достичь любой желаемой размерности в рамках относительно простой кривой), однако он требует от создателя принятия многочисленных специфических решений, причем все они, так или иначе, зависят друг от друга. Значение  здесь также не является внутренней характеристикой.

Все мы знаем, что наука немало настрадалась от недостатка в евклидовой геометрии моделей для описания негладких природных форм, а потому известие о том, что фрактальная геометрия способна справиться с этим, несомненно, бедственным положением, должно, казалось бы, наполнить наши сердца восторгом. Боюсь, однако, что на настоящей стадии развития теории восторги придется несколько попридержать и постараться обойтись как можно меньшим числом произвольных решений.

В этом свете факт наличия весьма серьезных ограничений, налагаемых геометрией плоскости на построение сквиг – кривых (в результате чего сквиг - кривые получаются более предсказуемыми и менее разнообразными), выглядит достоинством.

Размерность

Следует обратить самое пристальное внимание на размерность сквиг – кривых . То, что мы еще не раз встретимся с этим значением – в главе 25 (рис. 341) и в главе 36 – вряд ли можно объяснить простым совпадением; не исключено, что он приведет нас к более глубокому проникновению в основы геометрической структуры плоскости.

Ветвящиеся сквиг - кривые

Вернемся к построению речного русла. Вот мы заменили треугольный интервал долины участком поддолины, состоящим из одного или трех подтреугольников; представьте теперь, что оставшиеся три (или один) подтреугольника вдруг решают отвести от основного русла собственную поддолину.  Построение нового русла полностью определяется уже известным процессом. Точки, в которых подреки пересекают границы между треугольниками, выбираются с помощью той же системы, что используется в главной реке. В пределе конструкция сходится к древовидной кривой, которая заполняет треугольник случайным образом, как можно видеть на рисунке:

Очень кратко еще о двух прецедентах

Тот факт, что столь грубая модель, как мои линейные сквиг – кривые, может дать результат, вполне сносно – хоть и приблизительно – согласующийся с наблюдаемой размерностью реальных речных русел и бассейнов, представляется мне весьма интересным и даже многозначительным.

С помощью этих кривых можно также найти размерность общепринятой модели для сильно разбавленных растворов линейных полимеров – случайного блуждания без самопересечений (СББС) на решетке (см. главу 36).

Лучшая (чем в случае СББС) приспособленность сквиг – кривых к ограничениям, налагаемым геометрией плоскости, объясняется, очевидно, интерполяционным характером их построения.

Сквиг–поверхности

Сквиг – поверхности строятся на кубе, разделенном на  подкубов; я определил соответствующие «освобождающие» процедуры, которые однозначно определяют получаемую в результате фигуру – нечто вроде скомканного шерстяного шарфа постоянной и в то же время уменьшающейся толщины. К сожалению, не представляется возможным привести здесь алгоритм построения, из-за  его чрезмерной громоздкости.

Во многих случаях кривую Коха с заранее заданной размерностью  и без самопересечений можно получить несколькими различными способами, используя при этом одну и ту же общую решетку и одинаковые инициаторы. Кроме того, предположим, что существуют, по крайней мере, два генератора, которые дают одинаковый общий контур фигуры. Теперь можно легко рандомизировать построение, случайным образом выбирая на каждом этапе один из двух упомянутых генераторов. Генераторы могут, например, выглядеть вот так:

Рис. 322. Случайное побережье Коха (размерность )

Общая форма случайного острова Коха, построенного таким способом, сильно зависит от исходной фигуры. В частности, все начальные симметрии явственно прослеживаются на любом из этапов построения. По этой причине (равно как и по другим, описанным в главе 24) метод построения случайной кривой Коха путем случайной перетасовки ее элементов имеет весьма ограниченную область применения.

Рис. 323. Случайная кривая Пеано (размерность )

Изображенный ниже генератор вкупе с инициатором  дает в пределе кривую, заполняющую треугольник.

Положение и вид генератора определяется четностью номера интервала в терагоне. На интервалах с нечетными номерами вышеприведенный (т.е. прямой, ) вариант генератора располагается справа от кривой. К интервалам же с четными номерами применяется обратный  вариант генератора, и располагается он слева от кривой. Суть метода рандомизации, результат которой показан на рисунке; состоит в том, что выбор этих фокальных точек производится случайным образом. В данном примере распределение симметрично относительно средней точки интервала. Каждый подтреугольник разбивается позднее на четыре подтреугольника, причем независимым от соседей образом, и процесс продолжается до бесконечности.

Для того чтобы за изменениями терагона было легче проследить, каждый интервал заменен двумя, причем добавочная концевая точка является серединой «крыши» этого интервала.

Рис. 324. Треугольник и сквиг - кривая

Здесь проиллюстрировано поэтапное построение простейшей сквиг – кривой – каждый последующий этап совмещен с предыдущим и показан более темным оттенком серого цвета. Обратите также внимание на следующее обстоятельство: то, что мы не видим светлого оттенка под темным, не означает, что светлая область в этом месте прерывается. Начинается построение светло-серым треугольником, а заканчивается кривой черного цвета. Масштаб изображения этапов с 6 по 10 несколько больше масштаба для этапов с 0 по 5. Сами этапы описаны в тексте главы.

Рис. 325. Шестиквиговая береговая линия

На этом рисунке изображены шесть сквиг – кривых, соединенных концами и образующих петлю без самопересечений. Размерность фигуры очень близка к . Это же значение фигурирует и во многих других примерах кривых без самопересечений – например, границы броуновской оболочки на рис. 341, сходство которой с нашим «шестисквигом», безусловно, заслуживает упоминания.