26 СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ СРЕДИННОГО СМЕЩЕНИЯ

Повествование, продолжаемое в этой главе, имеет логическое начало в середине предыдущей главы, сразу после раздела о генерации броуновского движения посредством рандомизации кривой Пеано.

Напомним, что  - й терагон броуновской функции  прямолинеен между двумя последовательными моментами времени вида ,  а  - й терагон получается посредством случайного смещения средних точек сторон  - го терагона. То же относится и к терагонам  и  координатных процессов  и  функции .  

Поскольку процедура срединного смещения проходит совершенно гладко с кривыми, размерность которых , возникает вполне естественное желание попробовать адаптировать ее к оригинальной снежинке и другим кривым Коха с , а затем применить упомянутую процедуру к построению поверхностей. Этим мы сейчас и займемся.

Пытаясь воспроизвести и улучшить графику «Фракталов» 1977 г. и обойтись при этом наиболее прямыми и наименее дорогостоящими процедурами, многочисленные художники, специализирующиеся в создании фильмов и графических работ с помощью компьютера, применяли, как правило, один и тот же общий подход. Эти специалисты оказались не способны осознать, что метод случайного срединного смещения дает результаты, существенно отличающиеся от тех, что они стремились достичь. Простота и в самом деле входит в число достоинств этого метода, однако вместе с тем он обладает многими другими, часто вовсе нежелательными особенностями.

Пространственно неограниченные случайные кривые коха с временнóй решеткой

Напомним, что можно построить снежинку Коха с основанием , используя генератор, составленный из двух интервалов длины . В этом случае – вообще говоря, в любом случае, когда генератор состоит из двух интервалов длины , где  , - само построение определяет, в каком направлении смещаются средние точки сторон  - го терагона: влево или вправо. Смещение всегда ортогонально к соответствующей стороне, и квадрат его длины задается следующей разностью:

.

Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение.  Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадратическому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. Обозначим ее через , где , что вскоре получит исчерпывающее объяснение.

В результате соотношение между смещением  на временнóм промежутке  и двумя интерполированными смещениями  и  принимает вид

,

где  - некоторая произвольно заданная величина, меньшая 2.

Отсюда следует, что если временной интервал  является двоичным, т.е. если  и , то верно следующее:

.

Величину  в качестве параметра мы выбрали потому, что она представляет собой показатель при среднеквадратическом смещении.

Можно также показать, что если , то функция  статистически самоподобна относительно отношений приведения вида . Это – весьма желательное обобщение наших знаний о конструкциях с размерностью .

Нестационарные приращения

Не будем, однако, радоваться слишком бурно. Функция  является статистически самоподобной относительно отношений приведения иного, нежели , вида только в пеано – броуновском случае , когда она сводится к .

Более серьезная проблема возникает тогда, когда интервал  не является двоичным, хотя и имеет ту же длину  - например, если  и . На таких интервалах приращение  имеет иную и меньшую дисперсию, зависимую от . Нижняя граница этой дисперсии выглядит как . Более того, если известна величина , а время  не известно, то распределение соответствующего приращения  не является гауссовым, но представляет собой случайную смесь различных гауссовых распределений.

В результате складки, возникающие в двойных точках аппроксимирующего терагона, остаются и в предельной кривой. При размерности  чуть меньше 2 (т.е. при  чуть больше ) складки довольно незначительны. Однако когда значение  приближается к 1 (в главе 28 мы увидим, что при моделировании рельефа поверхности Земли нам приходится иметь дело с ), складки становятся очень заметными – их можно увидеть и на выборочных функциях. Единственным способом избежать их оказывается отказ от рекурсивной схемы срединного смещения, что мы и сделаем в следующем разделе и в главе 27.

Случайно размещенные слои

Для того чтобы установить причину нестационарности кривых и поверхностей срединного смещения, рассмотрим координатную функцию  некоторой кривой . На каждом этапе построения мы получаем некоторую ломаную функцию , нуль – множество которой, во-первых, периодично с периодом  и, во-вторых, включает в себя нуль – множество функции . То есть можно сказать, что каждая такая ломаная функция находится в синхронии со всеми последующими.

Из-за того, что нуль - множества периодичны и синхронны («иерархичны»), приращения не могут быть стационарными. И наоборот, стационарности можно достичь путем устранения этих свойств.

Один из подходов состоит в построении ломаной функции  следующим образом. Выберем пуассоновскую последовательность моментов времени  со средним числом точек на единицу времени, равным , затем положим, что функция  принимает независимые и одинаково распределенные случайные значения, и, наконец, произведем линейную интерполяцию между моментами времени . Бесконечная сумма  таких вкладов представляет собой некую стационарную случайную функцию, впервые описанную в докторской диссертации гидролога О. Дитлефсена (1969). (См. также [424] и [370].)

Оглянувшись назад, мы видим, что такое обобщение вовсе не требует, чтобы среднее число нулей было равно . Оно может иметь вид , где  - любая вещественная база, большая 1.

Допустимые отношения приведения соответствующего фрактала задаются дискретной последовательностью . По мере того, как , эта последовательность становится все более плотной, - в сущности, асимптотически непрерывной. Таким образом, функция  становится как нельзя более приемлемой для тех, кому нужны стационарность и широкий выбор коэффициентов подобия. Однако при этом она, к сожалению, теряет свою специфичность. Из рассуждений в [370] явствует, что функция  сходится к случайной функции , которую мы рассмотрим в следующей главе.

Рис. 345. В роли художника – ошибка в программе, опус 1

Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 424 – 427.

Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.

Очевидно, что по замыслу в «правильных» иллюстрациях должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался нарушен, причем никакого другого порядка также не наблюдается.

То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд, - вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.