Кривые пеано

Дополнительные материалы по этой теме (а также по нецелочисленным основаниям систем счисления) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

Масштабная инвариантность при усечении

Связь гиперболического распределения с масштабной инвариантностью основывается на следующем свойстве (присущем только гиперболическому распределению): распределение нормированной усеченной случайной величины «, если » не зависит от .

Доказательство. Пусть имеется некоторое основное распределение , причем нормированная усеченная с. в.  имеет обычное условное распределение . Нам нужно, чтобы это условное распределение было одинаковым  для  и  . Запишем  и  и рассмотрим функцию  как функцию от . Для получения искомого тождества  необходимо, чтобы при любом выборе значений  и  выполнялось равенство . А для этого функция  должна быть линейной функцией от .

Музыка и масштабная инвариантность

Музыка обладает, по меньшей мере, двумя достойными упоминания скейлинговыми свойствами.

Темперированные музыкальные гаммы и их связь с частотным спектром модифицированной функции Вейерштрасса. Из всех слов современного английского языка, восходящих к латинскому корню scala («лестница»), самым употребительным является, конечно же, не скейлинг, прочно обосновавшийся в нашем эссе, а слово scalу в значении «музыкальная гамма», под чем подразумевается некий дискретный спектр, получаемый умножением частот. В темперированной гамме значения частот располагаются в логарифмической последовательности. Например, додекафоническая (двенадцатитоновая) гамма соответствует основанию ; в результате бóльшая часть основных тонов любого музыкального инструмента приходится на относительно низкие частоты его полного частотного диапазона, высокие же частоты достаются немногим избранным.

Экстраполируя такой спектр в обе стороны на частоты, не воспринимаемые человеческим ухом, получим спектр, неотличимый от спектра функции Вейерштрасса (соответствующим образом модифицированной, см. с. 533) с тем же значением  . Следовательно, для того, чтобы добавить низких частот в музыкальное произведение, достаточно ввести в оркестр новые инструменты, способные производить низкие тоны желаемой частоты.

Согласно теореме Эйлера – Фурье, самая общая периодическая функция представляется в виде ряда линейно упорядоченных гармоник и, следовательно, последовательность основных тонов некоего эталонного музыкального произведения может быть представлена только очень суженными функциями.

Музыка как масштабно-инвариантный  шум (по Р.Ф. Фоссу). Второй скейлинговый аспект музыки связан с изменением во времени различных характеристик звукового сигнала: например, мощности (определяемой как квадрат интенсивности) или мгновенной частоты (определяемой как количество пересечений сигналом нулевого уровня за единицу времени). Фосс и Кларк [580, 581] (см. также [164]) отмечают, что в произведениях таких различных композиторов, как Бах, Бетховен и «Битлз», обе упомянутые характеристики звукового сигнала представляет собой масштабно-инвариантные шумы (или  - шумы, см. с. 356).

И наоборот, когда мы инициируем случайную музыку неким внешним физическим источником шума со спектральной плотностью вида  и различными скейлинговыми показателями, получается звук, как обнаружили те же Фосс и Кларк [580, 581], больше всего «похож» на музыку, если в качестве инициатора выступает  - шум.

Такого результата никто не ожидал, однако – как это случилось с большинством описанных в настоящем эссе открытий  - ему находится вполне «естественное» объяснение постфактум. Лично мне больше по душе такое рассуждение: музыкальная композиция, как явствует из термина, составляется из компонентов. Самыми крупными компонентами являются части, различающиеся общим темпом и / или / уровнем громкости. Части, в свою очередь, состоят из более мелких компонентов, разделяющихся по тому же принципу. Причем, согласно настояниям преподавателей композиции, «компонентная» структура должна прослеживаться, вплоть до мельчайших осмысленных составных частей музыкального произведения. Получаемая в результате такого сочинения композиция просто обязана быть масштабно-инвариантной!

Однако эта инвариантность не распространяется на временные промежутки, меньшие по времени звучания одной ноты. При более высоких частотах в действие вступают совершенно иные механизмы (определяемые, среди прочего, резонансными свойствами человеческих легких и корпусов скрипок и флейт), в результате чего высокоэнергетический спектр сигнала становится больше похож на , чем на .