Потенциалы и емкости. размерность фростмана

Размерность Хаусдорфа – Безиковича  играет центральную роль в современной теории классических и обобщенных потенциалов (потенциалов Марселя Рисса) с ядрами вида , где  . Из появившихся в недавнее время неэлементарных исследований теории потенциалов рекомендую обратить внимание на книги Дюплесси ([122], глава 3) и Ландкофа [287] (в последней материал изложен более подробно).

1. Предположение

Мы вскоре сможем убедиться в том, что особое значение  тесно связано с ньютоновским потенциалом в . Эта связь лежит в основе замечаний, высказанных в главе 9 относительно различных космологических теорий, согласно которым , - таких, например, как теории Фурнье и Джинса – Хойла.

Я полагаю, должна существовать возможность переформулировать эти теории в виде следствий из ньютонова закона всемирного тяготения.

Следовательно, должна существовать и возможность вывести отклонение наблюдаемого значения  от единицы из неньютоновских (релятивистских) эффектов.

2. Размерность и потенциалы: эвристика

Как уже упоминалось в главе 9, Бентли и Ньютону было известно о том, что в теории гравитационного потенциала имеет место эффект, аналогичный кеплерову эффекту пылающего неба («парадоксу Ольберса»). Предположим, что , что масса , заключенная внутри сферы радиуса  с центром в точке , пропорциональна , где , и что ядро потенциала является ньютоновским и имеет вид , где  . Масса, заключенная внутри оболочки толщины  и радиуса , пропорциональна ; следовательно, полный потенциал в точке , определяемый как , расходится в бесконечности. Расхождения в бесконечности не будет, если , а , т.е. если потенциал не является ньютоновским. Тот же результат мы получим и в модели Фурнье – Шарлье с  и .

Для общего интеграла  условие сходимости в бесконечности очевидно: . Таким образом, устанавливается однозначная связь между  и ; значению , в частности, соответствует .

3. Потенциал и емкость

Эту связь исследовали Д. Пойа и Д. Серё, в окончательном же виде ее сформулировал О. Фростман в [158]. Главное усовершенствование заключается в том, что рассуждение теперь распространяется не только на точку начала координат , но на все точки, принадлежащие множеству  (компактному). Рассмотрим единичную массу, распределенную на множестве  так, что область  содержит массу . В точке  ядро дает потенциальную функцию

.

Для измерения «протяженности» множеств де Ла Вале Пуссен применил физическую концепцию электростатической емкости. Идея такова, что если емкость  множества  достаточно высока, то масса, которую мы можем «перетасовать» для достижения наименее возможного максимального потенциала, равна .

Определение. Найдем супремум потенциала по всем точкам , затем – инфимум полученного результата относительно всех возможных распределений единичной массы на множестве  и, наконец, положим

.

Если используется ядро , то такой минимальный потенциал и в самом деле создается электрическими зарядами на проводящем множестве.

Эквивалентное определение. Величина представляет собой инфимум (среди всех распределений массы, носителем которой является множество ) энергии, определяемой двойным интегралом

.

4. D как размерность фростмана

Между величинами  и  имеет место простое соотношение. Когда показатель , используемый при определении емкости , больше, чем размерность  Хаусдорфа – Безиковича,  обращается в нуль, - это означает, что даже при «наиболее эффективном» распределении массы по множеству  потенциал в какой-то из точек бесконечен. Когда же  меньше , емкость множества  положительна. То есть размерность Хаусдорфа – Безиковича  выступает здесь, согласно Пойа и Серё, как емкостная размерность. Тождественность этих понятий была в наиболее общем виде доказана Фростманом [158].

В этой связи стоит упомянуть и о сложном соотношении между емкостной мерой и мерой Хаусдорфа  в размерности , полученном Телором (см. [559]).

5. «Аномальная» размерность

Ядра , где , ассоциируются в сознании физика с пространством вложения с «аномальной евклидовой» размерностью . (Я не склонен думать, что под этими терминами подразумеваются какие-то реальные обобщения размерности  на какие-либо положительные вещественные числа, кроме целых.) Принимая во внимание  наличие связи между размерностями  и  (размерность Фростмана) и  роль размерности  в описании скоплений галактик (установленную в главе 9), мы приходим в рамках «аномально – размерностной» терминологии к следующему утверждению: фрактальная размерность скоплений галактик  не является аномальной, однако наблюдаемая фрактальная размерность  требует, по всей видимости, пространства вложения с аномальной размерностью.