Броуновские фрактальные множества

Вследствие большого разнообразия всевозможных броуновских множеств, возникает необходимость по возможности в строгой (а иногда и весьма громоздкой) терминологии.

1. Броуновская функция из прямой в прямую

Этим термином обозначается классическое обыкновенное броуновское движение, иначе называемое функцией Винера, функцией Башелье или функцией Башелье – Винера – Леви. Приводимое ниже громоздкое определение позволяет легко классифицировать различные обобщения такой функции.

Допущения.  Временнáя переменная  есть вещественное число.  Пространственная переменная  есть вещественное число.  Параметр  равен .  Вероятность  задается функцией ошибок , которая представляет собой распределение приведенной гауссовой случайной величины с  и .

Определение. Броуновская функция из прямой в прямую  есть случайная функция, такая, что при любых  и  верно следующее:

Белый гауссов шум. Функция  непрерывна, но не дифференцируема. Это означает, что производная  не существует в виде обыкновенной функции, а представляет собой обобщенную функцию (распределение Шварца). Называется эта производная белым гауссовым шумом. Можно записать функцию  как интеграл .

Самоаффинность.  Понятие распределения вероятностей применимо не только к случайным величинам, но и к случайным функциям. Если положить , то распределение вероятностей нормированной функции  не зависит от . Такая масштабная инвариантность является проявлением самоаффинности.

Спектр. С точки зрения спектрального или гармонического анализа, спектральная плотность функции  пропорциональна , т.е. . Однако смысл спектральной плотности  требует особого рассмотрения, так как функция  нестационарна, а обычная теория ковариантности и спектра Винера – Хинчина имеет дело со стационарными функциями. Поэтому о спектрах мы поговорим позже – в разделе, посвященном функции Вейерштрасса.

Недиффернцируемость. Функция  непрерывна, но не дифференцируема. Рассмотрение недифференцируемости я также предлагаю отложить до раздела функция Вейерштрасса.  

Литература. Труды Леви [304] и [306] отличаются очень характерным стилем и загадочным изяществом, что уже создало им определенную репутацию в научных кругах (см. главу 40). Однако по глубине интуиции и простоте изложения им и сейчас нет равных.

Появившиеся в последнее время деловитые работы, рассчитанные исключительно на нужды отдельных и весьма разнообразных групп математиков, ученых и инженеров, слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять, однако хотелось бы отметить весьма многообещающую монографию Найта [270]. (К сожалению, автор предпочел не включать в книгу «результатов по хаусдорфовой размерности или мере выборочных траекторий, какими бы изящными они ни были, так как  для них, судя по всему, не находится никаких областей приложения [1], и … [они] не представляются насущно необходимыми для общего понимания непосредственно прикладного материала. С другой стороны, надо признать, что такие особенности, как недифференцируемость выборочных траекторий в любой их точке, и в самом деле дают определенное представление об иррегулярности этих траекторий».)

2. Обобщенные броуновские функции

Любое из упомянутых в предыдущем разделе допущений можно естественным образом обобщить, а любой процесс, получаемый в результате обобщения одного или нескольких допущений, существенно отличается от исходной функции  и находит весьма серьезные области приложения.

А.    Вещественное (скалярное) время  можно заменить точкой в евклидовом пространстве  (где ) либо точкой на окружности или на сфере.

Б.   Вещественную (скалярную) величину  можно заменить точкой в евклидовом пространстве  (где ) либо точкой на окружности или на сфере.

В.   Параметру  можно присвоить иное, нежели , значение. Гауссово распределение  допускает любое значение параметра  из интервала .

Г.   Гауссово распределение  можно заменить одним из негауссовых распределений, рассматриваемых в разделе устойчивые случайные величины и функции леви.

Кроме того, функцию  можно обобщить через ее представление в виде белого шума. Эта процедура дает существенно иные результаты.

3. Исключение тренда

Разброс броуновской функции из прямой в прямую  в интервале от  до  можно разбить на две части:  тренд, определяемый выражением , и  осциллирующий остаток  . В случае броуновской функции  эти члены оказываются статистически независимыми.

Тренд. График тренда  представляет собой прямую, угловой коэффициент наклона которой является случайной гауссовой величиной.

Броуновский мост. «Лишенный тренда» осциллирующий член  тождествен по своему распределению броуновскому мосту, определяемому как броуновская функция из прямой в прямую, ограниченная условием .

Ошибочное исключение тренда. Сталкиваясь с выборками неизвестного происхождения, многие статистики – практики, работающие в экономике, метеорологии и других подобных областях, спешат разбить их на тренд и осцилляцию (и еще добавочные периодические члены). Тем самым они имплицитно допускают, что получаемые при этом слагаемые можно приписать различным порождающим механизмам, и что эти слагаемые статистически независимы.

Последнее допущение можно признать обоснованным только в том случае, если выборка порождена броуновской функцией .

4. Броуновские функции изокружности в прямую

Броуновский мост с петлями. Возьмем периодическую функцию от , которая на временнóм промежутке  совпадает с броуновским мостом , и выберем случайным образом (равномерно) приращение  на интервале . Функция  статистически стационарна (см. раздел стационарность) и может быть представлена как случайный ряд Фурье – Броуна – Винера. Коэффициентами являются независимые гауссовы случайные величины, причем их фазы полностью случайны, а модули пропорциональны  (т.е. ), а совокупная спектральная энергия в области частот, превышающих , пропорциональна .

Практическое следствие, касающееся моделирования. Моделирование функции  неизбежно производится на конечном временнóм промежутке. Если в качестве такого промежутка взять интервал , то можно использовать при моделировании дискретные конечные методы Фурье. Сначала с помощью быстрого преобразования Фурье вычисляется броуновский мост, а затем добавляется необходимый случайный тренд.

Литература. Книга Пейли и Винера [461] знаменита своей неумолимой алгеброй. Однако в главах IX и X этой книги имеются очень основательные пояснительные параграфы, которые, несомненно, стоит прочесть. Могу порекомендовать также монографию Каана [248], но только математикам, так как полученные в ней результаты простыми словами не объясняются.

Броуновский мост с нечетными петлями. Функции  и  представляет собой суммы гармонических составляющих мостовой функции  с нечетными и с четными номерами, соответственно. Достоинство нечетной суммы состоит в том, что ее можно получить непосредственно из белого гауссова шума , построенного на окружности:

.

Броуновская функция из прямой в окружность. Возьмем броуновскую функцию , отбросим ее целую часть, и умножим дробный остаток на . Результат определяет положение точки на единичной окружности. Эта броуновская функция из прямой в окружность упоминается здесь, в основном,  для того, чтобы никто не перепутал ее с какой-либо из вышеописанных, весьма отличных от нее, функций.

5. Дробные броуновские функции из прямой в прямую

Для определения этой функции (обозначим ее ) возьмем обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую и изменим значение показателя  с  на любое вещественное число, удовлетворяющее неравенству . Функции с  оказываются вполне дробными.

Все функции  непрерывны и недифференцируемы. Самое раннее упоминание о них я нашел в статье Колмогорова [275] 1940 г. Ссылки на другие разрозненные источники, а также описание различных свойств этих функций собраны в [404]. См. также [292].

Корреляция и спектр. Очевидно, что. Спектральная плотность функции  пропорциональна . Показатель не является целым числом – в этом и заключается одна из нескольких причин, побудивших меня предложить для обозначения функций  термин дробные.

Дискретный дробный гауссов шум. Этот шум определяется как последовательность приращений функции  на последовательных единичных временных интервалах. Его корреляция равна

.

Долгосрочная корреляция. Персистентность и антиперсистентность. Положим  и определим предыдущее приращение как , а последующее приращение как . Имеем

.

Разделив результат на , получим корреляцию, которая оказывается независимой от : она равна . В классическом случае  корреляция, как и ожидалось, обращается в нуль. При  корреляция положительна, выражает персистентность и при  возрастает до единицы. При  корреляция отрицательна, выражает антиперсистентность  и при  уменьшается до .

То, что эта корреляция не зависит от  и в тех случаях, когда она не обращается в нуль, является очевидным следствием самоаффинности функции .

Однако при изучении случайности многие начинают с того, что очень удивляются и / или / даже расстраиваются, впервые столкнувшись с тем фактом, что корреляции прошедших и будущих событий могут быть независимы от времени, не обращаясь при этом в нуль.

Практическое следствие для моделирования. При генерации случайной функции для всех целочисленных значений времени в интервале от  до  выбор алгоритма, как правило, не зависит от значения ; алгоритм выбирают заранее, а затем выполняют его требуемое количество раз.  Алгоритмы, необходимые для генерации дробных броуновских функций, имеют существенное отличие: они неизбежно зависят от .

Описание быстрого генератора дискретных приращений функции  есть в моей статье [364]. (В эту статью вкралась одна весьма досадная опечатка: в первой дроби на с. 545 следует убрать из числителя единицу и поместить ее перед всей дробью.)

Фрактальные размерности. Для графика . Для нуль – множества и других множеств уровня . См. [3].

6. Дробная броуновская функция из окружности или тора в прямую

Дробные броуновские функции из окружности в прямую гораздо более изощрены, чем функции, описанные в подразделе 4. Простейшая из них представляет собой сумму дробного ряда Фурье – Броуна – Винера, который, по определению, имеет независимые гауссовы коэффициенты и полностью случайные фазы, причем модули коэффициентов пропорциональны  . Дробная броуновская функция из тора в прямую представляет собой сумму двойного ряда Фурье с такими же свойствами.

Предостережение. Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд  дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции  и повторением получить периодическую функцию.

К сожалению, полученная таким образом периодическая функция и сумма ряда Фурье с коэффициентами   суть разные случайные функции. В частности, ряд Фурье стационарен, в то время как многократно повторенная функция  с исключенным трендом – нет. Например, на некотором малом интервале по обе стороны от  многократно повторенный мост с исключенным трендом объединяет два непоследовательных подучастка функции . Ограничения, имеющегося в определении моста, вполне достаточно для того, чтобы объединенный участок оказался непрерывным, но совершенно не достаточно для того, чтобы сделать его стационарным. Такой участок, к примеру, совсем не тождествен по своему распределению некоторому малому участку, составленному из последовательных подучастков по обе стороны от точки .

Замечания по моделированию. Вычислить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую с помощью конечных дискретных методов Фурье теоретически невозможно; на практике же это вполне осуществимо, однако требует немалой сноровки. Наиболее прямолинейная процедура заключается в следующем:  вычисляем соответствующую функцию из окружности в прямую,   отбрасываем ее за исключением ограниченного участка, соответствующего малому подынтервалу периода  (скажем, ) и  прибавляем к результату отдельно вычисленную низкочастотную составляющую. При  значение  должно стремиться к нулю.

Фрактальные размерности. Для полного графика  (см. [457]). Когда множество уровня непусто,  . Этот результат приводится в [412] (усиливая теорему 5 (с. 146) [248]).

Критический переход при . Дробный ряд Фурье – Броуна – Винера с независимыми гауссовыми коэффициентами, пропорциональными , сходится в непрерывную сумму при всех . Когда значение параметра  пересекает единицу, сумма становится дифференцируемой. Что касается дробного броуновского процесса, то он определен лишь до . Различие в диапазоне допустимых значений параметра  может служить подтверждением того, что эти два процесса существенно отличаются друг от друга. Это различие также предполагает, что физические критические переходные феномены можно моделировать с помощью броуновских функций из прямой в прямую, но никак не с помощью броуновских функций из окружности в прямую.

7. Дробные броуновские следы изпрямой или окружности в пространство

В случае функции из окружности в пространство с  размерность следа равна  . Этот вывод является частью теоремы 1 (с. 143) [248].

8. Различные формы дробного интегро – дифференцирования

Для преобразования броуновской функции из прямой в прямую  в дробную функцию  проще всего записать

.

Этот интеграл расходится, однако приращения вида  являются сходящимися. Он представляет собой подвижное среднее ядра  - классическое, хотя и несколько туманное преобразование, известное адептам чистой математики под именем дробного интеграла или дифференциала Римана – Лиувилля порядка .

Эвристика. Идея отсутствия необходимости в целочисленном порядке интегрирования и / или /  дифференцирования наиболее доходчиво объясняется в терминах спектрального анализа. В самом деле, обычное интегрирование некоторой периодической функции эквивалентно умножению коэффициентов Фурье этой функции на , а обычное интегрирование Фурье (если оно определено) на . Следовательно, операция, при которой преобразование Фурье умножается на дробную степень  , может быть с полным правом названа дробным интегро - дифференцированием. Так как спектр белого шума имеет вид , спектр функции  можно записать в виде  (как и было заявлено).

Литература. Преобразование Римана – Лиувилля применяется и во многих других, самых разнообразных, областях (см. [616], II, с. 133, [456],  [503],  [291]). О менее известном приложении этого преобразования к теории вероятности (с отсылками к Колмогорову [275]) можно прочесть в [404].

Влияние на гладкость. Когда порядок  преобразования Римана – Лиувилля положителен, оно представляет собой дробную форму интегрирования, поскольку увеличивает гладкость функции. Гладкость равнозначна локальной персистентности, однако гладкость, полученная посредством интегрирования, распространяется и на глобальные свойства функции. При  преобразование Римана – Лиувилля представляет собой дробную форму дифференцирования, поскольку оно усиливает иррегулярность, которая зависит от локального поведения.

Дробное интегро – дифференцирование броуновских функций. В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр  сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка  броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок  не может превышать , поэтому функция  не является дифференцируемой.

И в тех, и в других броуновских функциях (из окружности в прямую и из прямой в прямую) локальная иррегулярность препятствует дифференцированию при значении параметра , следовательно, порядок дифференцирования не может быть меньше .

Двустороннее обобщение дробного интегро – дифференцирования.  То обстоятельство, что классическое определение Римана – Лиувилля сильно асимметрично по отношению к переменной , не вызывает никаких сложностей до тех пор, пока  обозначает время. Однако для тех случаев, когда координата  может «распространяться» в обоих направлениях, необходимо симметричное определение. Я предлагаю следующее:

.

9. Броуновские функции из пространства в прямую

Леви (см. [306, 307, 308, 309, 410]) вводит понятие броуновских функций из пространства  в вещественную прямую, где  представляет собой либо обычное пространство  (расстояние  определяется как отрезок прямой), либо сферу в пространстве  (расстояние определяется вдоль геодезических линий), либо гильбертово пространство. Для каждой из соответствующих броуновских функций значений разности  является гауссовой случайной величиной с нулевым средним и дисперсией , где . Рекомендую также обратить внимание на статьи [421] и [70].

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когда  - сфера. В этом случае функция  строится, как описано в главе 28: на поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, а функция  определяется как интеграл этого белого шума по поверхности полусферы, северный полюс которой совпадает с точкой  . Вообще-то, я предпочитаю несколько иной вариант, в котором берется половина интеграла по одной полусфере, а затем вычитается половина интеграла по другой полусфере. Такая процедура позволяет обобщить второй процесс, описанный в подразделе 4. 

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когда  [79]. Этот случай требует более сложного алгоритма (алгоритм был предложен Ченцовым). Наиболее наглядное представление об этом алгоритме можно получить, когда пространство  есть , и . Построим вспомогательный цилиндр единичного радиуса с координатами  и  и наложим на него слой белого шума. Далее (в модифицированном мною [379] варианте алгоритма) проинтегрируем этот шум по прямоугольнику от  до  и от 0 до . Получим броуновскую функцию из прямой в прямую, которая обращается в нуль при ; обозначим ее через . Для каждой точки  плоскости броуновские составляющие  статистически независимы, а их интеграл по  равен .

10. Дробные броуновские функции из пространства в прямую

В работе Ганголли [161] (отдельные моменты которой были предвосхищены еще Ягломом [608]) функция  обобщается до случая  (см. предыдущий подраздел). Здесь, однако, не приводится явного алгоритма для построения результирующей функции. Для того чтобы заполнить этот пробел, я обобщил в [379] построение Ченцова, заменив каждую функцию  двусторонне определенной дробной броуновской функцией из прямой в прямую.

О размерности  см. в [610, 611].

О моделировании с помощью БПФ см. [582].

11. Нелинейные преобразования дробных гауссовых шумов

Зададим дисперсию , отличную от , составим сумму  и интерполируем ее линейно для нецелочисленных . Результат (который мы обозначим через ) асимптотически масштабно - инвариантен, если существует некоторая функция , такая, что предел  невырожден при любом . Мюррей Розенблатт рассмотрел случай . В статье [551] показано, что эта задача тесно связана с эрмитовым рангом дисперсии  в ряд Эрмита. О более новых находках в этом направлении можно узнать из работ [554] и [110].