§ 5. Поверхностный интеграл
Пусть в прямоугольной системе координат Охуг задана некоторая область 
. Пусть в области V задана поверхность 
, ограниченная некоторой пространственной линией 
.
Относительно поверхности а мы будем предполагать, что в каждой ее точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором 
, направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности определен вектор
где X, У, Z — непрерывные функции координат.
Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки 
. На каждой площадке возьмем произвольную точку
и рассмотрим сумму
где 
значение вектора F в точке 
площадки 
единичный вектор нормали в этой точке, 
скалярное произведение этих векторов.
Предел суммы (1), распространенный на все площадки 
при стремлении к нулю диаметров всех таких площадок, называется поверхностным интегралом и обозначается символом
Таким образом, по определению
Каждое слагаемое суммы (1)
может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием 
и высотой 
Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (3) равно количеству жидкости, протекающей через площадку 
за единицу времени в направлении вектора 
, - (рис. 352).
Рис. 352.
Выражение 
представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность о в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения Жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл (2) называется потоком векторного поля F через поверхность 
.
Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность а разбить на части 
, то
Выразим единичный вектор 
через его проекции на оси координат: 
Подставляя в интеграл (2) выражения векторов 
через их проекции, получим
Произведение 
есть проекция площадки 
на плоскость 
аналогичное утверждение справедливо и для произведений 
где 
проекции площадки 
на соответствующие координатные плоскости.
Рис. 353.
На основании этого интеграл (2) записывают также в другой форме:
