§ 20. Дифференциал

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством

Отношение при стремится к определенному числу и, следовательно, отличается от производной. на величину бесконечно малую:

где

Умножая все члены последнего равенства на получим

Так как в общем случае то при постоянном и переменном произведение есть бесконечно малая величина первого порядка относительно Произведение же есть всегда величина бесконечно малая высшего порядка относительно так как

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно Произведение называют дифференциалом функции и обозначают через или .

Таким образом, если функция y = f(x) имеет производную в точке то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом

Найдем дифференциал функции в этом случае

и, следовательно, или Таким образом, дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением . Равенство можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независимой переменной, и тогда рассмотренный пример показывал бы, что это не противоречит определению дифференциала функции. В любом случае формулу (2) мы можем записать так:

Но из этого соотношения следует, что

Следовательно, производную аж но рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так:

Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно . Если , то является бесконечно малой высшего порядка и относительно и

Поэтому в приближенных вычислениях иногда пользуются приближенным равенством

или в развернутом виде

что сокращает вычисления.

Пример 1. Найти дифференциал и приращение функции при произвольных значениях

Решение.

Погрешность при замене на равна 0,01. Во многих случаях можно считать ее малой по сравнению с и пренебречь ею.

Рассмотренная задача наглядно иллюстрируется рис. 85.

Рис. 85.

В приближенных вычислениях пользуются также приближенным равенством, которое получается из (6)

Пример 2. Пусть тогда .

В этом случае приближенное равенство (6) примет вид

Вычислим приближенное значение sin 46°. Положим (что соответствует углу 45°), (соответствует углу 1°). Подставляя в (7), будем иметь или sin 46°

Пример 3. Если в формуле (7) положим то получим приближенное равенство:

Пример 4. Если , то по формуле (6) получаем следующее приближенное равенство:

при получаем

Пример 5. Если , то формула (6) дает

Полагая получаем приближенное равенство

Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как, умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов. Так, например: Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций и равен сумме дифференциалов этих функций:

Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций и и v определяется формулой

Докажем, например, последнюю формулу. Если то но поэтому

Аналогично доказываются и другие формулы, например формула, определяющая дифференциал частного:

Решим несколько примеров на вычисление дифференциала функции.

Пример 6. ,

Пример 7. .

Найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

следовательно, но поэтому

Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный

аргумент и был независимой переменной. Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала, будет широко использовано в дальнейшем.

Пример 8. Дана функция Найти

Решение. Представив данную функцию как сложную: находим

но поэтому можно написать