§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных

Если а — точное значение некоторой величины, а — известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения называют обычно некоторую величину , про которую известно, что

Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину , про которую известно, что

Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Если — известное число, например , то иногда говорят об абсолютной и относительной погрешностях задания этого числа: числа и называют соответственно абсолютной и относительной погрешностью числа а, если про них известно, что .

Иногда в литературе абсолютной погрешностью называют величину , а относительной — величину мы будем придерживаться исходных определений, и поэтому у нас всегда .

По ходу изложения материала будут употребляться выражения: большое число, очень большое число, сильный рост функции.

Чаще всего число мы называем большим, если , но относительная погрешность результата решения задачи порядка является допустимой.

Если относительная погрешность порядка недопустимо большой, то число называем очень большим.

Выражение функция сильно растет чаще всего означает, что она возрастает в очень большое число раз.

Значащими цифралш числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример. У чисел значащими цифрами являются подчеркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4. во втором — 7.

Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Примеры. ; подчеркнутые цифры являются верными.

Иногда уславливаются называть значащую цифру верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единиц разряда, соответствующих этой цифре.

Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами.

Пример. При число записано со всеми верными цифрами.

Иногда употребляется термин число верных цифр после запятой: подсчитывается число цифр после запятой от первой цифры до последней верной цифры. В последнем примере это число равно 5.

Довольно часто информация о некоторой величине задается пределами ее измерения:

например

Принято записывать эти пределы с одинаковым числом знаков после запятой; так как обычно достаточно грубого представления о погрешности, то в числах часто берут столько значащих десятичных цифр, сколько нужно, чтобы разность содержала одну-две значащие цифры.

Употребляемые далее оговорки «часто», «обычно», «принято» специально употребляются нами, чтобы не создавалось впечатления об обязательности каких-то стандартных форм задания информации о величине погрешности. Эти формы задания информации рассматриваются лишь потому, что они наиболее распространены, а следовательно, наиболее удобны при контактах.

Абсолютную или относительную погрешность обычно записывают в виде числа, содержащего одну или две значащих цифры.

Информацию о том, что является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , иногда записывают в виде

числа и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой. Например, записи

относятся к общепринятым и означают, что

Соответственно информацию о том, что является приближенным значением числа а с относительной погрешностью , записывают в виде

Например, записи

означают, что

При переходе от одной из форм записи к другой надо следить, чтобы пределы измерения, указываемые новой формой записи, были шире старых, иначе такой переход будет незаконным. Например, при переходе от (1) к (2) должны выполняться неравенства

при переходе от (2) к (3) — неравенства

при переходе от (3) к (2) должны выполняться противоположные неравенства (пределы всегда расширяются!).

Следует различать принятую нами выше формально математическую и обиходную терминологии в рассуждении о величине погрешности. Если в постановке задачи говорится, что требуется найти решение с погрешностью , то чаще всего не имеется в виду обязательность этого требования.

Предполагается лишь, что погрешность имеет такой порядок. Если, например, решение будет найдено с погрешностью , то такой результат, скорее всего, также удовлетворит заказчика.