120. Скалярное поле и его градиент.

Если некоторая физическая величина имеет определенное значение в каждой точке пространства или части пространства, то таким путем определяется поле этой величины. Если данная величина есть скаляр (температура, давление, электростатический потенциал), то и поле ее называется скалярным. Если же данная величина есть вектор (скорость, сила), то поле, ею определяемое, называется векторным [112].

Начнем с исследования скалярного поля. Для задания такого поля достаточно определить функцию точки

Так, например, нагретое тело дает скалярное поле температуры. В каждой точке М тела температура имеет определенное значение, которое может меняться от точки к точке.

Возьмем определенную точку и проведем через нее прямую, причем придадим этой прямой определенное направление (рис. 88). Рассмотрим значение функции U (М) в самой точке близкой к ней точке на взятой прямой . Предел отношения

если он существует, называется производной от функции по направлению и обозначается так:

Эта производная характеризует быстроту изменения функции в точке М в направлении Отметим, что число может быть как положительным, так и отрицательным. Если направление от совпадает с направлением то это число положительно. При замене направления противоположным число меняет знак, и производная по направлению лишь знаком отличается от производной по направлению . Будем считать, что в каждой точке М некоторой области функция имеет производную по любому направлению и что производная по любому фиксированному направлению есть непрерывная функция точки М в Дальнейшие рассуждения будут относиться к упомянутой области.

Рис. 88.

Как мы видим, функция имеет в каждой точке бесчисленное множество производных, но нетрудно показать, что производная по любому направлению выражается через производные по трем взаимно перпендикулярным направлениям по формуле

Заметим прежде всего, что при составлении производной (26) мы могли бы проводить через точку М не прямую, а какую-нибудь направленную кривую Вместо формулы (26) нам надо было бы рассматривать предел

Этот предел есть очевидно не что иное, как производная от функции по длине дуги s взятой кривой , и, пользуясь правилом дифференцирования сложных функций, мы можем написать

Но, как известно суть направляющие косинусы касательной к линии (L) в точке М, и в случае, когда (L) есть прямая, мы и получаем как раз формулу (27). Кроме того, формула (28)

показывает, что производная по кривой совпадает с производной по направлению , касательному к кривой в точке М.

Рис. 89.

Введем теперь в рассмотрение поверхности уровня нашего скалярного поля. Эти поверхности характеризуются тем условием, что во точках такой поверхности функция сохраняет одно и то же постоянное значение С. Придавая этой постоянной различные численные значения, получим семейство поверхностей уровня Будем считать, что через каждую точку М некоторой области о проходит гладкая поверхность уровня. Для случая нагретого тела поверхности уровня суть поверхности равной температуры. Пусть (S) есть поверхность уровня, проходящая через точку М (рис. 89).

Введем в этой точке три взаимно перпендикулярных направления: направление нормальное к поверхности , к два направления лежащих в касательной плоскости. Направления являются касательными к некоторым кривым лежащим на поверхности уровня. Вдоль этих кривых функция сохраняет постоянное значение, а потому

Возьмем теперь любое направление . Применяя формулу (27) к трем взаимно перпендикулярным направлениям и принимая во внимание (29), будем иметь

Вели мы отложим на направлении вектор, равный учетом знака , то, согласно (30), проекция этого вектора на любое направление дает производную

Построенный по вышеуказанному правилу вектор называется градиентом функции U (М), т. е. градиентом скалярного поля называется векторное ноле, построенное по следующему правилу: в каждой точке вектор направлен по нормали к соответствующей поверхности уровня, а по алгебраической величине равен производной от функции по направлению упомянутой нормали. Градиент скалярного обозначается символом grad U (М), и формула (30) может быть записана в виде

где есть проекция вектора на направление .

Нетрудно видеть, что выбор направления нормали к поверх пости уровня (S) не влияет на направление Этот вектор всегда направлен в ту сторону нормали к (S), куда функция возрастает.

Отнесем пространство к декартовой системе координат XYZ Вместо можем писать и величины проекций вектора на указанные оси равны частным производным функции по

Упомянутое выше определение градиента с помощью поверхностей уровня может оказаться неприменимым, например, в таких точках, где поверхность уровня вырождается в точку или линию, а также если эта поверхность не имеет определенной касательной плоскости. Рассмотрим три функции:

В точке (0,0,0) поверхность уровня вырождается в точку, — в линию (ось OZ), а уравнение есть совокупность двух плоскостей, проходящих через ось OZ, и в точках этой оси указанная поверхность уровня не имеет определенной касательной плоскости. Для всех трех функций частные производные первого порядка равны нулю в точке (0, 0, 0), и в этих точках градиент указанных функций надо считать равным нулю (нулевой вектор).

Примеры. I. Поле тяготения, которое мы рассматривали в (90), приводит к скалярному полю потенциала тяготения

где есть плотность материи, занимающей объем и — расстояние точки М до переменной точки интегрирования. Мы имели следующие выражения для слагающих силы тяготении:

где — составляющие вектора силы F. Отсюда непосредственно в следует, что вообще т. е. векторное поле силы тяготения есть градиент потенциала Работа силы тяготения выражается формулой

т. e. работа эта выражается разностью потенциала в точках А и В.

Последним свойством обладает, очевидно, всякое консервативное силовое поле, т. е. такое поле, для которого Часто потенциалом называют не самую функцию

Если различные точки тела имеют различную температуру в поле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее

нее нагретым. Возьмем какую-нибудь поверхность и на ней малый элемент около точки М. В теории теплопроводности принимается, что количество тепла , проходящего через элемент за время пропорционально и нормальной производной температуры т. е.

где k — коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом внутренней теплопроводности, а направление нормали к

Построим вектор — и , который называется вектором потока тепла; знак мы ставим в силу того, что тепло течет от более высоких температур к более низким, а вектор направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции . В силу формулы (32) можно сказать, что количество тепла проходящее за время через элемент будет

Отметим, что мы рассматриваем изотропное тело. Если оно однородно, то k — постоянная. При неоднородности тела k — функция точки.