1.2. ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, СТАТИСТИКА, ОЦЕНКА

Как было отмечено в разделе 1.1, при статистическом подходе вопросы, относящиеся к реальному миру, превращаются в какой-то мере эквивалентные им вопросы о свойствах вероятностных распределений в принятой статистической модели. Так, влияние молока на вес детей обсуждалось в терминах значения параметра в (или набора параметров) вероятностного распределения, описывающего прирост веса отдельных детей. В исследование было включено конечное число детей, и они, или, точнее, приросты их веса, образуют выборку. Эта выборка, скажем, объема позволяет получить единиц данных, а именно индивидуальные приросты веса Мы будем полагать, что выборка — это тот набор данных, который только и доступен статистику. Следовательно, оценка значения неизвестного параметра в (для простоты полагаем, что параметр только один), которую может получить статистик, должна быть вычислена по определенному правилу из выборочных величин скажем,

Например, есть веские основания взять в качестве оценки в выборочное среднее

Любая подобная комбинация наблюдаемых значений называется статистикой (итак, это расширяет значение слов «статистика» по сравнению с его нетехническим употреблением, когда оно означало сбор данных или фактов). Статистика — это число, вычисленное по выборке. Если оно используется как оценка величины параметра в, то статистика должна быть в некотором смысле приближенным значением для Вопрос в том, в каком смысле?

Пытаясь ответить на этот вопрос, мы должны вспомнить, что частное значение статистики, которое нам удалось получить по выборке приростов веса детей, могло бы измениться, если бы мы взяли другую группу детей. Действительно, если вывод, который мы надеемся получить, должен быть использован для более расширенной группы детей, чем та, которая включена в нашу выборку, существенно, чтобы эта выборка была извлечена из этой расширенной группы с помощью метода, включающего элементы случайного выбора. На вопрос о том, является ли наша оценка хорошей, можно ответить в терминах, относящихся к широкому классу оценочных правил (1.2.1), которые возникают в выборочных процедурах.

Пример 1.2.1. Контроль качества в промышленности. Пусть имеется партия из 10000 номинально идентичных изделий. Известно, что некоторые из этих изделий дефектны: их критические размеры лежат вне допустимых границ. Требуется оценить долю (скажем, в) дефектных изделий в партии на основе результатов точного измерения размеров, проведенного на выборке из 20 изделий, взятых из партии.

Рассмотрим сначала процедуру формирования выборки. Предположим, что она организована следующим образом: 20 изделий должны быть выбраны «случайно», т. е. таким образом, чтобы при каждом акте выбора все изделия в партии имели бы одинаковый шанс быть отобранными. (Этого не всегда легко достигнуть, и практические способы различны в зависимости от объема партии и свойств изделий.) Так как в нашем случае партия очень велика по сравнению с объемом выборки, доля дефектных изделий в ней после извлечения выборки не будет существенно отличаться от исходной доли в. В этих условиях статистические свойства нашей выборки практически неотличимы от свойств выборки, полученной с помощью процедуры «случайного выбора с возвращением» [см. II, раздел 3.6.3]. Следовательно, с приемлемой степенью точности вероятность того, что наша выборка содержит дефектных изделий, или 20, определяется по формуле биномиальной вероятности [см. II, раздел 5.2.2]:

Обратимся теперь к оценке. Критерии для формулирования правил, позволяющих получать «хорошие» оценки, обсуждаются ниже (см. гл. 3); сейчас же мы будем основываться на интуитивном представлении о том, что доля дефектных изделий в выборке кажется разумным приближением к доле дефектных изделий во всей партии. Следовательно, мы принимаем в качестве оценки для в число в, определенное как

где — число дефектных изделий в выборке (объема 20). Если наблюдаемое значение то

Выражение (1.2.3) есть специальный случай (1.2.1); оно дает некоторое правило для получения оценки из выборочных данных. Теперь согласно (1.2.2) значение в (1.2.3) представляет собой реализацию [см. II, гл. 4] случайной переменной распределенной по биномиальному закону [см. II, раздел 5.2.2]. Следовательно, в есть реализация некоторой случайной величины, скажем Т, где

ее возможные значения —

Согласно (1.2.2) ее распределение вероятностей определяется формулой

В этом примере вопрос «Какова доля дефектных изделий в партии?» был заменен вопросом «Каково значение параметра в распределения вероятностей (1.2.2)?». Оценка рассматривается как реализация случайной величины Т, распределение которой приведено в (1.2.5). Случайную величину, реализацией которой является оценка, будем называть оценивателем (estimator). Соответствующее распределение вероятностей называется выборочным распределением оценки (или оценивателя). (Аналогичный смысл придается выборочному распределению любой статистики независимо от того, может ли она непосредственно использоваться как оценка.)

Приведенные рассуждения наводят на мысль, что вопрос «Является ли в хорошей оценкой можно рассматривать как сокращенную форму другого вопроса: «Высока ли вероятность того, что согласно выборочному распределению в его наблюдаемое значение близко к В примере, который обсуждался выше, мы можем,

Рис. 1.2.1. График вероятностей из табл. 1.2.1.

непосредственно обращаясь к выборочному распределению, получить по крайней мере некоторое субъективное суждение об этом. Пусть значение (объем выборки), а значение неизвестного параметра Соответствующее выборочное распределение приведено в табл. 1.2.1 и графически представлено на рисунке. Можно видеть, что по меньшей мере для выбранного значения в вероятностное распределение действительно сконцентрировано в соседстве с в. Реализации оценивателя скорее всего будут близки к , и в этом смысле в не кажется нелепой оценкой .

Для получения дополнительной информации по контролю качества в промышленности см. [Hald (1981); Wetherill (1969) — Н]. Система библиографических ссылок объяснена в разделе 1.3.6.

Таблица 1.2.1. Выборочное распределение доли дефектных изделий в случайной выборке объема 20, когда доля дефектных изделий в генеральной совокупности Распределение вероятностей для

(см. скан)