§ 8. Локально интегрируемые функции

В § 4 мы видели, что множество обобщенных функций в интервале является расширением множества функций, непрерывных в этом интервале. Теперь мы увидим, что обобщенные функции охватывают также и некоторый более широкий класс функций.

Пусть непрерывная функция; тогда, как хорошо известно,

Если функция кусочно непрерывна или (более общий случай) если она интегрируема по Риману, то соотношение (1) также справедливо всюду, кроме, быть может, точек разрыва функции Читатель, знакомый с интегралом Лебега, может интерпретировать формулу (1) в еще более широком смысле, а именно как равенство, выполняющееся почти всюду.

В упомянутом выше случае левую часть формулы (1) можно также истолковать как обобщенную функцию, которая является производной в смысле теории обобщенных функций от непрерывной функции При этом равенство (1) позволяет отождествить обобщенную функцию, стоящую в левой его части, с функцией Посредством такого соглашения мы включаем в множество обобщенных функций на интервале некоторый класс разрывных функций. Обширность этого класса зависит от принимаемого определения интегрируемости, а именно, этот класс является множеством всех локально интегрируемых функций, т. е. функций, интегрируемых в каждом интервале

Интерпретация подобных функций как обобщенных требует следующего соглашения: локально интегрируемые функции считаются равными в том и только в том случае, когда они равны как обобщенные функции, т. е.когда для всех . В частности, если эти функции кусочно непрерывны или (более общий случай) если они локально интегрируемы по Риману, то они считаются равными, если их значения во всех общих точках непрерывности равны. Функции, интегрируемые по Лебегу, считаются равными тогда и только тогда, когда они почти всюду имеют одинаковые значения. Следует заметить, что

это определение равенства обычно и принимается в теории интеграла Лебега.

Класс неопределенных интегралов Лебега локально интегрируемых функций совпадает с классом абсолютно непрерывных функций. Обычная производная абсолютно непрерывной функции существует почти всюду и совпадает с ее производной в смысле теории обобщенных функций.

Если локально интегрируемые функции, то выражение имеет один и тот же смысл, интерпретируем ли мы как функции или как обобщенные функции. Это замечание относится также к вычитанию и к умножению на число.

Введение локально интегрируемых функций позволяет нам усилить лемму 6.8, не меняя ее доказательства.

8.1. Если производная обобщенной функции — локально интегрируемая функция, то сама обобщенная функция является непрерывной функцией, обычной производной.

В приложениях часто встречается так называемая функция Хевисайда:

Ее интеграл

непрерывен при всех Функция Хевисайда является обобщенной производной функции всюду, кроме точки она является также обычной производной от Так как предел интегралов

где функции примера то мы имеем

иначе говоря, фундаментальная последовательность представляет функцию Хевисайда.

Фундаментальные последовательности примеров 2° и 3° (§ 2) точно так же представляют функцию Хевисайда. Поэтому для функций примеров 2° и 3° (§ 2) имеем

Таким образом, функция Дирака § является обобщенной производной функции Хевисайда.

Функция Дирака служит примером обобщенной функции в интервале которая не является локально интегрируемой функцией. Действительно, предположим, что интегрируемая функция. Из формулы согласно лемме 8.1, вытекало бы, что функция непрерывна, а это неверно.

Стоит отметить, что обычная производная функции Хевисайда равна нулю всюду, кроме точки в которой она не существует. Этот пример показывает, что обычная производная не всегда совпадает с производной в смысле теории обобщенных функций, даже если обычная производная существует всюду, за исключением одной точки 1).