§ 15. Производная как предел разностного отношения

Производную обобщенной функции можно определить тем же самым способом, что и производную обычной функции. Действительно:

15.1. Для любой обобщенней функции

Существует такая функция с непрерывной первой производной, что Так как

то мы имеем в силу теоремы VII

15.2. Для любой обобщенной функции

Существует такая функция с непрерывной первой производной, что Дифференцируя соотношение

получаем

В силу леммы 12.2 имеем значит,

После подобных шагов получаем

т. е. формула (1) справедлива.

Умножая формулу (1) на получаем, в силу леммы 11.3,

Если является обобщенной функцией в интервале причем то, согласно § 13, формулу (2) нужно понимать как равенство на интервалах

На обобщенные функции можно также распространить известную теорему Пеано.

15.3. Для любой обобщенной функции в интервале и для любого целого числа в общей части интервалов имеет место формула

причем обобщенная функция определена в этой общей части, и при

Существует такая функция непрерывными производными, что для некоторого целого Имеем

где при а Дифференцируя раз, получаем требуемое равенство с