Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5. Алгебраические действия над обобщенными функциямиТеперь мы определим сложение и вычитание обобщенных функций и умножение обобщенной функции на число. Определения этих действий обобщают аналогичные действия над функциями, иначе говоря, в том случае, когда обобщенные функции оказываются обыкновенными функциями, вводимые ниже действия совпадают с обычными действиями над функциями. Под суммой Чтобы проверить корректность этого определения, мы должны доказать следующее: 1°. Если последовательности 2°. Обобщенная функция Свойство 1° обеспечивает выполнимость сложения, а свойство 2° — единственность результата. Для доказательства 1° предположим, что существуют целые числа
В силу леммы 2.6 можно считать, что
последовательность Пусть теперь выполнены предположения пункта 2°. Тогда, по лемме 3.2, последовательности
фундаментальны, а значит, по пункту 1°, последовательность
также фундаментальна и, снова по лемме 3.2,
Под разностью Под произведением Корректность этих определений можно доказать аналогично доказательству корректности определения суммы. Непосредственно из определений только что введенных действий вытекает, что для обобщенных функций, так же как и для обычных функций, выполняются следующие свойства действий:
Обозначая символом 0 обобщенную функцию, определяемую функцией, тождественно равной нулю, имеем
Символ 0 в последней формуле имеет два различных значения: в левой части он обозначает число нуль, а в правой — нулевую обобщенную функцию. Эта двусмысленность не приводит к неправильному пониманию,
|
1 |
Оглавление
|