§ 5. Алгебраические действия над обобщенными функциями

Теперь мы определим сложение и вычитание обобщенных функций и умножение обобщенной функции на число. Определения этих действий обобщают аналогичные действия над функциями, иначе говоря, в том случае, когда обобщенные функции оказываются обыкновенными функциями, вводимые ниже действия совпадают с обычными действиями над функциями.

Под суммой обобщенных функций мы понимаем обобщенную функцию

Чтобы проверить корректность этого определения, мы должны доказать следующее:

1°. Если последовательности фундаментальные, то такова же и последовательность

2°. Обобщенная функция не зависит от выбора последовательностей представляющих обобщенные функции т. е. если

Свойство 1° обеспечивает выполнимость сложения, а свойство 2° — единственность результата.

Для доказательства 1° предположим, что существуют целые числа и функции со свойствами

В силу леммы 2.6 можно считать, что Поскольку

последовательность является фундаментальной.

Пусть теперь выполнены предположения пункта 2°. Тогда, по лемме 3.2, последовательности

фундаментальны, а значит, по пункту 1°, последовательность

также фундаментальна и, снова по лемме 3.2,

Под разностью обобщенных функций мы понимаем обобщенную функцию

Под произведением обобщенной функции на число X мы понимаем обобщенную функцию

Корректность этих определений можно доказать аналогично доказательству корректности определения суммы.

Непосредственно из определений только что введенных действий вытекает, что для обобщенных функций, так же как и для обычных функций, выполняются следующие свойства действий:

Обозначая символом 0 обобщенную функцию, определяемую функцией, тождественно равной нулю, имеем

Символ 0 в последней формуле имеет два различных значения: в левой части он обозначает число нуль, а в правой — нулевую обобщенную функцию. Эта двусмысленность не приводит к неправильному пониманию,