Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Фундаментальные последовательности непрерывных функцийМножество обобщенных функций является расширением множества обычных функций. Мы выведем обобщенные функции методом, аналогичным методу, используемому в теории Кантора при расширении множества рациональных чисел до множества действительных чисел. Введение действительных чисел преследует цель сделать всегда выполнимыми определенные операции, например вычисление корней или логарифмов. Введение обобщенных функций преследует цель сделать всегда выполнимой операцию дифференцирования. Для обычных функций, даже в предположении непрерывности, это не имеет места. Тогда как отправной точкой в теории Кантора являются рациональные числа, отправной точкой в развиваемой здесь теории будут непрерывные функции, определенные в фиксированном интервале Последовательность
Мы говорим, что последовательность
если она сходится к Например, Каждая равномерно сходящаяся последовательность, очевидно, сходится и почти равномерно. Предел почти равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций является также непрерывной функцией. Запись
означает, что последовательность
означает, что последовательности Непосредственно из определения (при 2.1. Каждая почта равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций является фундаментальной. Другие примеры фундаментальных последовательностей будут даны после следующих лемм. 2.2. Если Так как последовательность 2.3. Если последовательность
Пусть
что и доказывает лемму. Примеры фундаментальных последовательностей1°. Последовательность
ограничена числом 1, причем 2°. Последовательность
является фундаментальной. Действительно, последовательность
ограничена числом 1, причем
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4. 3°. Последовательность функций При рассмотрении фундаментальных последовательностей полиномов полезна следующая лемма: 2.4. Если последовательность полиномов степени
сходится в
Обратно, если пределы (2) существуют, то
Пусть
где
2.5. Последовательность Ввиду леммы 2.1 достаточно доказать необходимость. Пусть Полезно отметить, что целое число 2.6. Если последовательность
где I — некоторое целое положительное число, также удовлетворяет условиям
|
1 |
Оглавление
|