§ 2. Фундаментальные последовательности непрерывных функций

Множество обобщенных функций является расширением множества обычных функций. Мы выведем обобщенные функции методом, аналогичным методу, используемому в теории Кантора при расширении множества рациональных чисел до множества действительных чисел. Введение действительных чисел преследует цель сделать всегда выполнимыми определенные операции, например вычисление корней или логарифмов. Введение обобщенных функций преследует цель сделать всегда выполнимой операцию дифференцирования. Для обычных функций, даже в предположении непрерывности, это не имеет места.

Тогда как отправной точкой в теории Кантора являются рациональные числа, отправной точкой в развиваемой здесь теории будут непрерывные функции, определенные в фиксированном интервале

Последовательность непрерывных функций, определенных при называется фундаментальной, если существуют некоторая последовательность функций и целое число такие, что

последовательность сходится почти равномерно.

Мы говорим, что последовательность сходится к функции почти равномерно в интервале и пишем

если она сходится к равномерно на каждом конечном замкнутом интервале, содержащемся в интервале

Например, в интервале Немного труднее установить, что при Последовательность частных сумм любого степенного ряда таке сходится почти равномерно в его интервале сходимости.

Каждая равномерно сходящаяся последовательность, очевидно, сходится и почти равномерно. Предел почти равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций является также непрерывной функцией.

Запись

означает, что последовательность сходится почте равномерно к некоторой функции, а запись

означает, что последовательности сходятся почти равномерно к одной и той же функции.

Непосредственно из определения (при вытекает:

2.1. Каждая почта равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций является фундаментальной.

Другие примеры фундаментальных последовательностей будут даны после следующих лемм.

2.2. Если — фундаментальная последовательность функций с непрерывными производными порядка то последовательность также является фундаментальной.

Так как последовательность удовлетворяет условиям и то последовательность удовлетворяет [условию и условию и доказывает, что последовательность фундаментальная.

2.3. Если последовательность непрерывных функций ограничена и если в интервалах

то в интервале Поэтому последовательность является фундаментальной.

Пусть По заданным и интервалу подберем номер так, чтобы в интервалах при выполнялось неравенство Тогда, при интеграл от по каждому из этих интерзалоз будет мельше Та же оценка имеет место для интервалов Следовательно,

что и доказывает лемму.

Примеры фундаментальных последовательностей

1°. Последовательность

ограничена числом 1, причем в интервале в интерзале . Согласно лемме 2.3, эта последовательность фундаментальная.

2°. Последовательность

является фундаментальной. Действительно, последовательность

ограничена числом 1, причем в интервале в интервале . В силу леммы 2.3 последовательность фундаментальная, а значит, по лемме 2.2, таковой же является и последовательность

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

3°. Последовательность функций изображенных на рис. 3, фундаментальная, поскольку функции обладают, как легко видеть из рис. 4, теми же свойствами, что и в примерах 1° и 2°.

При рассмотрении фундаментальных последовательностей полиномов полезна следующая лемма:

2.4. Если последовательность полиномов степени

сходится в точках, то существуют пределы

Обратно, если пределы (2) существуют, то где

Пусть различные числа. Тогда, подставляя их в полином (1), находим, что

где

алгебраическое дополнение элемента определителя А. Следовательно, если пределы существуют, то и пределы (2) также существуют. Равномерная сходимость в любом интервале вытекает из оценки

2.5. Последовательность полиномов степени является фундаментальной в том и только в том случае, когда она сходится почти равномерно.

Ввиду леммы 2.1 достаточно доказать необходимость. Пусть -фундаментальная последовательность; тогда существуют целое число и последовательность полиномов степени такие, что причем последовательность сходится почти равномерно. В силу леммы 2.4 коэффициенты многочленов стремятся к пределам, следовательно, стремятся к пределам и коэффициенты многочленов Отсюда, в силу леммы 2.4, вытекает, что сходится почти равномерно.

Полезно отметить, что целое число фигурирующее в определении фундаментальной последовательности, можно в случае необходимости заменить любым большим целым числом. Это вытекает из следующей леммы:

2.6. Если последовательность удовлетворяет условиям то последовательность функций

где I — некоторое целое положительное число, также удовлетворяет условиям и с заменой на Кроме того, если то где