§ 12. Замена переменных

Пусть бесконечно дифференцируемая функция, определенная в интервале и пусть любом Пусть, наконец, обобщенная функция в интервале Под суперпозицией обобщенной функции и функции мы будем понимать обобщенную функцию определенную в интервале

Для проверки корректности этого определения мы должны показать следующее:

Если -фундаментальная последовательность, то такова же и

2°. Из соотношения вытекает, что

Заметим сначала, что если функции непрерывно дифференцируемы, а последовательность ментальная, то в силу леммы 2.2 и свойства 1° § 11 фундаментальной будет и последовательность функций

Пусть -почти равномерно сходящаяся последовательность таких непрерывных функций, что Тогда последовательность также сходится почти равномерно, а потому является фундаментальной. Значит, фундаментальны и последовательности Последняя из них совпадаете что и доказывает пункт 1°.

Свойство 2° можно доказать тем же самым рассуждением, каким доказано свойство 2° § 11.

Выкладки с суперпозициями обобщенных функций можно производить так же, как и с суперпозициями обычных функций. В частности, имеем формулу

поскольку

Из формулы (1) вытекает, в частности, соотношение

Если всюду, то функция или всюду равна 0, или всюду равна 1. Поэтому

Если же обращается в 0 в некоторой точке [единственной, поскольку то для возрастающей для убывающей Следовательно,

12.1. Если последовательность обобщенных функций сходится к то последовательность сходится к Более общий случай: если для то

Действительно, возьмем такие функции что Тогда Отсюда, дифференцируя, получаем

Легко проверить, что

Из (3) и (4), в силу леммы 11.1, вытекает

После таких шагов получаем

Следующая лемма является непрерывным аналогом леммы 12.1.

12.2. Если при то Более общий случай: если при то

Доказательство такое же, как и для леммы 12.1. Особенно важен случай линейной замены.

12.3. Для любой обобщенной функции при любом целом имеет место формула

Действительно, пусть полиномы образуют фундаментальную последовательность обобщенной функции тогда

Применяя лемму 12.3 к очевидному соотношению

получаем формулу

являющуюся частным случаем формулы (2). Дальнейшим дифференцированием формулы (5) получаем

Из леммы 12.3 сразу же следует:

12.4. Если обобщенная функция является производной порядка непрерывной функции то будет производной порядка функции .