§ 6. Дифференцирование обобщенных функций

Для определения дифференцирования обобщенных функций нам нужны следующие леммы:

6.1. Если функции имеют непрерывные производные порядка и если то

Действительно, так как функции удовлетворяют условиям ( то удовлетворяют условию с заменой на и условию

6.2. Для любой непрерывной функции существует такая последовательность полиномов что

Пусть -убывающая, а -возрастающая числовые последовательности, причем По хорошо известной аппроксимационной теореме Вейерштрасса существует полином удовлетворяющий условию

Отсюда в интервале

6.3. Всякую обобщенную функцию можно представить в виде , где — полиномы.

Действительно, пусть обобщенная функция, т. е. существуют некоторое целое число и почти равномерно сходящаяся [к некоторой функции ] последовательность такие, что Положим где -последовательность полиномов, сходящаяся почти равномерно к Тогда т. е.

Под производной обобщенной функции представленной в виде , где полиномы, мы понимаем обобщенную функцию Это определение

корректно, поскольку, в силу леммы 2.2, последовательность фундаментальная и обобщенная функция в силу леммы 6.1, не зависит от конкретного представления в виде

Из леммы 6.3 вытекает:

Теорема Каждая обобщенная функция имеет производные любого порядка.

В определении производной обобщенной функции можно заменить полиномы функциями с непрерывными производными. Это вытекает из следующей леммы:

6.4. Если фундаментальная последовательность состоит из функций с непрерывными производными, то обобщенная функция является производной обобщенной функции

В самом деле, согласно лемме 2.2, последовательность фундаментальная и, если где полиномы, то в силу леммы

6.5. Если обобщенная функция является обычной функцией с непрерывной производной, то ее производная в обобщенном смысле совпадает с ее производной в обычном смысле.

Действительно, согласно лемме производной обобщенной функции является обобщенная функция

Таким образом, понятие производной обобщенной функции является расширением понятия производной для непрерывно дифференцируемых функций. Поэтому можно применять обычные обозначения: производную обобщенной функции мы будем обозначать посредством или . В частности, первая производная обобщенной функции будет обозначаться посредством или Если функции имеют непрерывные производные, то, по лемме 6.4,

Из определения производной обобщенной функции непосредственно вытекают следующие формулы, встречающиеся в обычном дифференциальном исчислении:

Теорема II. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда обобщенная функция является полиномом степени

Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости предположим, что Мы можем представить в виде с непрерывными тогда Это значит, что существуют некоторое целое число и последовательности такие, что

Но тогда является фундаментальной последовательностью полиномов степени По лемме 2,5 эта последовательность почти равномерно сходится к некоторому полиному а по лемме следовательно,

Согласно лемме 2.4, функция представляет собой полином степени поскольку таковыми являются функции Но, по лемме а потому обобщенная функция представляет собой полином степени Отсюда, согласно формуле (4), заключаем, что является полиномом степени

Из теоремы 11, в частности, вытекает:

6.6. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда обобщенная функция является постоянной функцией.

Заменяя в лемме 6.6 обобщенную функцию на получаем:

6.7. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда обобщенные функции отличаются друг от друга на постоянную функцию.

В дальнейшем будет полезна следующая лемма:

6.8. Если производная обобщенной функции непрерывная функция, то и сама является непрерывной функцией, ее обычной производной.

Положим

Из теоремы II и леммы 6.5 вытекает, что полином степени Таким образом, обычная функция, в силу леммы 6.5, — ее обычная производная.

Согласно теореме I, каждая непрерывная функция имеет производную. В общем случае эта производная является не функцией, а обобщенной функцией. Например, недифференцируемая функция Вейерштрасса в теории обобщенных функций дифференцируема, однако ее производная не является функцией.

Теорема III. Каждая обобщенная функция является обобщенной производной некоторого порядка от непрерывной функции.

В самом деле, если т. е. причем то, по лемме

В дальнейшем нам понадобится также следующая лемма:

6.9. Пусть обобщенная функция является производной в обобщенном смысле от непрерывной функции

Построим непрерывную функцию

где тогда будет обобщенной производной порядка от

Действительно, по формуле (3) имеем, в силу леммы 6.5,

Эта лемма показывает, что число в случае необходимости можно увеличить.