§ 20. Периодические обобщенные функции

Обобщенная функция в интервале — называется периодической (с периодом если

Докажем следующие утверждения:

20.1. Для любой периодической обобщенной функции существует интеграл

20.2. Для всякого сходящегося ряда периодических обобщенных функций имеет места формула

20.3. Если интеграл (1) от периодической обобщенной функции обращается в нуль, то существует периодическая обобщенная функция для которой

Пусть тогда

Поскольку производная этой обобщенной функции равна интеграл (2) является постоянной функцией. Таким образом, в точке 0 он имеет значение

что и доказывает лемму 20.1.

Лемма 20.2 следует из формулы (3) и теоремы XII. Пусть интеграл (1) обращается в нуль и тогда, согласно формуле Это означает, что обобщенная функция периодична. Обобщенная функция

обладает всеми свойствами, требуемыми в лемме 20.3.

Теорема (Шварц [19]; см. также Влёка, Железный и Лоясевич [2]). Всякая периодическая обобщенная функция является суммой тригонометрического ряда

где

Разложение (4) единственно.

Теорема XIV (Шварц [19]). Ряд

сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда для некоторого целого

Предположим, что ряд в равенстве (4) сходится и притом к Умножая обе части равенства (4) на и интегрируя, получаем в силу леммы 20.2

поскольку, как известно, все фигурирующие здесь интегралы от тригонометрических функций обращаются в нуль, кроме интеграла при равного Таким образом, мы получили первую из формул (5). Аналогично получается и вторая.

Отсюда вытекает, что представление по формуле (4), если таковое существует, единственно.

Пусть теперь произвольная периодическая обобщенная функция. Интеграл от обобщенной функции равен нулю; Применяя раз лемму 20.3, находим, что существует периодическая обобщенная функция для которой . С другой стороны, при достаточно большом существует непрерывная функция для которой Можно считать, что кратно 4 и что непрерывно дифференцируема. Обобщенные функции отличаются друг

от друга на полином степени а поэтому является периодической функцией с непрерывной производной.

По элементарной теореме о рядах Фурье, представима суммой равномерно сходящегося тригонометрического ряда

у которого

Дифференцируя в обобщенном смысле формулу раз и прибавляя к обеим частям получаем равенство

причем сходимость ряда в правой части понимается в смысле теории обобщенных функций.

В силу единственности представления в виде (4) заключаем, что

где даются формулами (5). Этим завершается доказательство теоремы XIII.

Свойство (7) вытекает из соотношений (9) и (10). Для доказательства теоремы XIV достаточно показать, что из соотношений (7) вытекает обобщенная сходимость ряда (6). Пусть кратно Тогда ряды

абсолютно сходятся, а значит, ряд

сходится равномерно.

Дифференцируя последний ряд раз, получаем ряд (6), который в силу теоремы VI сходится в смысле теории обобщенных функций.

В классическом анализе принято различать тригонометрические ряды и ряды Фурье. В теории обобщенных функций это различие исчезает, поскольку всякий сходящийся тригонометрический ряд является разложением некоторой периодической обобщенной функции. Отметим, что тригонометрический ряд, являющийся разложением в классическом смысле некоторой периодической функции, является разложением и в смысле теории обобщенных функций. Это вытекает из того, что коэффициенты разложения подсчитываются по одним и тем же формулам (5).

Пример периодической обобщенной функции, не являющейся обычной функцией, дает ряд

Обобщенная функция является производной функции где символ означает наибольшее целое число, не превосходящее а. Действительнз, функцию можно выразить при помощи функции Хевисайда:

При дифференцировании этой формулы ее правая часть превращается в правую часть формулы (11).

Для нахождения коэффициентов разложения обобщенной функции воспользуемся формулами (8) и (9) § 19:

и, аналогично,

Таким образом, согласно теореме XIII,

Отсюда получается формула для суммы косинусов:

Этот ряд не сходится в обычном смысле ни в одной точке. Обобщенную сходимость можно доказать двукратным интегрированием или же вывести из теоремы XIV.

Аналогично, ряд синусов

сходится в обобщенном смысле. Для отыскания его суммы будем исходить из известной формулы

Функция в правой части локально интегрируема, поэтому она является обобщенной функцией. Дифференцируя в обобщенном смысле ряд (14) и меняя знак, получаем, согласно § 14,

Отсюда получается разложение

Заменяя на получаем разложение

Поскольку имеем

Заменяя на получаем

Интересно отметить, что предыдущие формулы остаются справедливыми, если понимать суммирование не в смысле теории обобщенных функций, а, например, как суммирование методом средних арифметических.

Хорошо известно, что частная сумма ряда (13) является не чем иным, как ядром Дирихле

Согласно формуле (13), ядро Дирихле стремится в обобщенном смысле к Другие ядра, рассматриваемые в теории тригонометрических рядов, например

обладают тем же свойством.

В некоторых случаях бывает выгодна комплексная форма тригонометрического ряда

Из теоремы XIII вытекает, что всякую периодическую обобщенную функцию можно представить как сумму ряда (15) с коэффициентами

Согласно теореме XIV, ряд (15) сходится тогда и только тогда, когда для некоторого целого выполняется соотношение: при