§ 7. Определение обобщенных функций при помощи производных

Теорема III наводит на мысль о другом, эквивалентном определении обобщенных функций. Это определение также использует метод абстракции, однако иным способом. В качестве отправной точки мы берем здесь не фундаментальные последовательности, а упорядоченные пары где непрерывная функция в интервале целое число Мы говорим, что пары эквивалентны и пишем

если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:

1°. а разность существует и является многочленом степени

2°. а разность существует и является многочленом степени

Под многочленом степени мы понимаем функцию, тождественно равную нулю.

Легко видеть, что введенное нами отношение обладает свойствами Докажем, что оно обладает также и свойством Пусть . В силу симметрии можно считать, что Тогда для I имеются три возможности:

В любом из этих трех случаев доказательство основывается на Том, что при Каждом дифференцировании степень полинома снижается

по крайней мере на единицу, а при каждом интегрировании она повышается на единицу. Разберем, например, второй случай Имеем

где -полином степени полином степени Отсюда

причем полином степени что и доказывает эквивалентность

Поскольку условия выполнены, множество всех пар разбивается на классы эквивалентности без общих элементов так, что две пары лежат в одном и том же классе тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Эти классы эквивалентности назовем обобщенными функциями. В этой новой формулировке мы получаем обобщенные функции путем отождествления эквивалентных пар.

Обобщенную функцию, определяемую парой т. е. класс всех пар, эквивалентных будем обозначать символом который в настоящий момент еще не имеет смысла производной. Мы вводим это обозначение потому, что обобщенную функцию как будет показано ниже, можно интерпретировать как производную функции

Из определения эквивалентности вытекает, что в том и только в том случае, когда Таким образом, класс эквивалентности типа содержит в точности один элемент вида а именно, элемент Следовательно, мы можем отождествить обобщенную функцию с обычной функцией и написать

Под производной обобщенной функции мы понимаем обобщенную функцию в частности, производной обобщенной функции является обобщенная функция

Если обобщенная функция является обычной функцией с непрерывной производной, то ее производная в определенном выше смысле совпадает с ее производной в обычном смысле:

В самом деле, пара эквивалентна паре

Здесь теорема III становится очевидной: обобщенная функция является производной функции Этот факт

оправдывает способ записи обобщенных функций, примененный в этом параграфа.

Всякую обобщенную функцию в новом смысле можно отождествить с обобщенной функцией в прежнем смысле:

Это отождествление корректно, поскольку тогда и только тогда, когда Действительно, пусть иначе говоря, пусть где полином степени Интерпретируя эти функции как обобщенные функции в прежнем смысле, получаем, в силу леммы 6.5,

Пусть, наоборот, Тогда значит, где полином степени Следовательно, по лемме 6.8,

что и доказывает соотношение

Отождествив обобщенные функции в прежнем и нынешнем смысле, обнаруживаем, что дифференцирование в обоих случаях дает одно и то же, ибо

Для обобщенных функций в смысле этого параграфа можно очень просто определить действия сложения, вычитания и умножения на число, а также и другие действия, вводимые в дальнейших параграфах.