Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. Определение обобщенных функций при помощи производныхТеорема III наводит на мысль о другом, эквивалентном определении обобщенных функций. Это определение также использует метод абстракции, однако иным способом. В качестве отправной точки мы берем здесь не фундаментальные последовательности, а упорядоченные пары
если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: 1°. 2°. Под многочленом степени Легко видеть, что введенное нами отношение В любом из этих трех случаев доказательство основывается на Том, что при Каждом дифференцировании степень полинома снижается по крайней мере на единицу, а при каждом интегрировании она повышается на единицу. Разберем, например, второй случай
где
причем Поскольку условия Обобщенную функцию, определяемую парой Из определения эквивалентности вытекает, что
Под Если обобщенная функция является обычной функцией с непрерывной
В самом деле, пара Здесь теорема III становится очевидной: обобщенная функция оправдывает способ записи обобщенных функций, примененный в этом параграфа. Всякую обобщенную функцию
Это отождествление корректно, поскольку
Пусть, наоборот,
что и доказывает соотношение Отождествив обобщенные функции в прежнем и нынешнем смысле, обнаруживаем, что дифференцирование в обоих случаях дает одно и то же, ибо
Для обобщенных функций в смысле этого параграфа можно очень просто определить действия сложения, вычитания и умножения на число, а также и другие действия, вводимые в дальнейших параграфах.
|
1 |
Оглавление
|