§ 3. Определение обобщенной функции

Мы говорим, что две фундаментальные последовательности эквивалентны и пишем

если существуют последовательности и целое число такие, что

Из леммы 2.6 следует:

3.1. Целое число фигурирующее в определении эквивалентных последовательностей, может быть в случае необходимости заменено любым большим целым числом.

Для этого достаточно заменить функции функциями а функции аналогично определяемыми функциями

3.2. Фундаментальные последовательности эквивалентны в том и только в том случае, когда последовательность

является фундаментальной.

Если последовательность (1) фундаментальная, то ществуют целое число и непрерывные функции такие, что причем последовательность

сходится почти равномерно. Следовательно, условия выполнены.

"Обратно, пусть условия выполнены. Тогда последовательность (2) сходится почти равномерно, т. е. последовательность (1) удовлетворяет условиям

Легко видеть, что введенное нами отношение обладает свойствами Докажем, что оно обладает также и свойством Пусть тогда существуют целое число 0 и последовательности , удовлетворяющие условиям кроме того, существуют целое число и последовательности удовлетворяющие аналогичным условиям:

Ввиду леммы 3.1 можно считать, что Тогда, полагая получаем

Ввиду того что условия выполнены, множество всех фундаментальных последовательностей (определенных на интервале разбивается на классы эквивалентности без общих элементов так, что две фундаментальные последовательности лежат в одном и том же классе тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Эти классы эквивалентности мы будем называть обобщенными функциями (на интервале Таким образом, понятие обобщенной функции возникает путем отождествления эквивалентных фундаментальных последовательностей.

Обобщенную функцию, определяемую фундаментальной последовательностью класс всех последовательностей, эквивалентных последовательности мы будем обозначать символом Последовательности определяют одну и ту же обобщенную функцию тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Иначе говоря,

Фундаментальные последовательности примеров 2° и 3° (§ 2) определяют одну и ту же обобщенную функцию, называемую дельта-функцией Дирака.

Действительно, пусть последовательность функций примера 2° или примера тогда, в силу леммы 2.3, последовательности

сходятся почти равномерно к одной и той же функции

Значит, последовательности примеров 2° и 3° эквивалентны.