§ 4. Обобщенная функция как расширение понятия функции

По лемме 2.1 постоянная последовательность т. е. последовательность, все члены которой равны непрерывной функции фундаментальна. Таким образом, она определяет обобщенную функцию

Различные функции определяют различные обобщенные функции

Действительно, пусть т. е. пусть существуют функции и целое число такие, что

Тогда функции представляют собой полиномы степени поскольку Кроме того, Из леммы 2.4 вытекает, что функция является полиномом степени Поэтому ее производная равна нулю, т. е. функции совпадают.

Рассмотрим множество всех обобщенных функций вида Только что установленное взаимно-однозначное соответствие между функциями и обобщенными функциями позволяет не различать эти два понятия. В дальнейшем мы будем отождествлять обобщенные функции с функциями и писать

Однако не все обобщенные функции могут быть представлены в виде не все обобщенные функции могут быть отождествлены с непрерывными функциями. Например, дельта-функцию Дирака нельзя отождествить ни с какой непрерывной функцией. Это будет доказано в § 8. Поэтому понятие обобщенной функции можно рассматривать как существенное расширение понятия непрерывной функции. Позднее мы покажем, что это расширение содержит также обширный класс разрывных функций.

С логической точки зрения это расширение в точности того же самого типа, что и расширение множества рациональных чисел до множества действительных чисел в теории Кантора. В самом деле, рациональное число а отождествляется в этой теории с классом фундаментальных последовательностей, эквивалентных постоянной последовательности

Для доказательства достаточно заметить, что непрерывна и что последовательности удовлетворяют условиям

Поскольку обобщенные функции представляют собой расширение понятия функции, мы сохраним для них обычные функциональные обозначения. Обобщенные функции мы будем обозначать символами п. Следует заметить, что это обозначение — чисто символическое и что, в общем случае, недопустимо подставлять вместо переменного числовые значения.

Дельта-функция Дирака будет обозначаться символом