ВВЕДЕНИЕ

Цель данной брошюры — изложить теорию обобщенных функций столь просто, чтобы эта теория стала доступной физикам и инженерам. Для того чтобы достигнуть этой цели, мы не будем пользоваться методами функционального анализа и не будем определять обобщенные функции как функционалы. В прикладной математике обобщенные функции, например -функция Дирака, рассматриваются как обычные функции. Однако, по существу, обобщенные функции не являются обычными функциями, но могут быть аппроксимированы в некотором интуитивном смысле обычными функциями. Такая, уже строго определенная аппроксимация является нашей отправной точкой при определении обобщенной функции. Это определение естественным образом приводит к тем же самым обозначениям для обобщенных функций, что и для обычных функций, позволяет сохранять ту же самую форму аналитических формул и пользоваться нашими выкладочными навыками.

Другие авторы также испытывали потребность в более простой трактовке теории обобщенных функций, в трактовке, основывающей определение обобщенной функции на более простых понятиях. Это можно видеть во многих работах по основаниям теории обобщенных функций (Гальперин [3], Кёниг [6], Коревар [7], Микусинский [10, 11], Сикорский [13], Словиковский [14, 15], Темпл [17]).

Каждая обобщенная функция является в известном смысле производной некоторой непрерывной функции. Мы доказываем это свойство в начале нашей брошюры и развиваем остальную часть теории на основе двух точек зрения на обобщенные функции: как на предельный случай непрерывных функций и как на производные от непрерывных функций. Это помогает сделать доказательства всех теорем элементарными и очень простыми.

В этой брошюре мы имеем дело с теорией обобщенных функций конечного порядка, которые играют основную роль. В §21 мы показываем, как распространить основные определения и теоремы на случай обобщенных функций бесконечного порядка.

Хотя основной задачей этой брошюры и является изложение теории обобщенных функций для целей преподавания, мы включили в нее некоторые новые результаты. Они являются продуктом работы семинара, который авторы вели в Математическом институте Польской Академии Наук в 1954—55 и в 1955—56 учебных годах. Для написания брошюры особенно полезными оказались результаты С. Лоясевича, К. Урбаника, И. Влёки и 3. Железного.

В данной работе мы занимаемся обобщенными функциями одного переменного. Дальнейшие разделы этой теории и теория обобщенных функций многих переменных будут изложены в последующих выпусках.