§ 14. Функции с полюсами

Функция является обобщенной функцией в интервалах — Однако ее нельзя непосредственно отождествить ни с какой обобщенной функцией в интервале — поскольку она не интегрируема ни в какой окрестности точки

Но, с другой стороны, в интервале — существуют такие обобщенные функции что

Например,

где производная понимается в обобщенном смысле. Равенство (1) останется справедливым, если к левой части соотношения (2) прибавить произвольную линейную комбинацию дельта-функции и ее производных.

В качестве дополнительного соглашения можно принять, что равенство (2) отождествляет функцию с обобщенной функцией Такое отождествление можно распространить на достаточно широкий класс функций, которые в отдельных точках имеют полюсы, а в остальных точках локально интегрируемы. Именно, мы будем рассматривать в интервале функции которые в окрестности любой точки можно представить в виде

где интегрируемая функция. Это разложение на интегрируемую функцию и дополнительную сингулярную часть однозначно. Сингулярная часть может отсутствовать. Точки в которых по меньшей мере один из коэффициентов отличен от нуля, называются полюсами функции Во всяком конечном замкнутом подинтервале с концами а и имеется самое большее конечное число

полюсов. Поэтому можно написать

где интегрируемая функция, а полюсы из этого интервала. Это разложение однозначно. Пусть а и не являются полюсами; определим интеграл в пределах от а до формулой

которая получается из формулы (4) формальным интегрированием. Под неопределенным интегралом от будем понимать всякую функцию вида

где а не является полисом, произвольная постоянная. Только что описанный неопределенный интеграл, заданный с точностью до постоянной, также является функцией с полюсами, однако порядки этих полюсов по крайней мере на 1 меньше.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с функциями, у которых число в разложении (3) не зависит от Интегрируя раз в вышеуказанном смысле функцию получаем локально интегрируемую функцию определенную с точностью до полинома степени Ее обобщенная производная однозначно определяется функцией Мы отождествляем обобщенную функцию с функцией

Таким образом, в анализ обобщенных функций включаются все рациональные функции; в частности, функцию

следует отождествить с обобщенной производной функции

Кроме того, включаются также все рациональные функции от синуса и косинуса; в частности, имеют место формулы

Многие другие функции, весьма полезные с практической точки зрения, например эллиптические функции, гамма-функция Эйлера и т. п., также включаются в анализ обобщенных функций.