§ 17. Теоремы существования значений обобщенных функций

В приложениях очень важна следующая теорема:

Теорема IX (Лоясевич [8, 9]). Обобщенная функция имеет значение с в точке тогда и только тогда, когда существуют целое число и непрерывная функция такие, что и

Достаточно доказать эту теорему в Пусть

тогда, при в интервале Так как то т.е. имеет значение с в точке 0.

Предположим теперь, что имеет значение с в точке 0. Тогда существуют целое число и функция зависящая от параметра а, такие, что

В частности,

Поскольку функции отличаются друг от друга только на полином степени

Мы собираемся доказать, что пределы существуют и что функция

обладает требуемым свойством.

Так как

то, полагая

получаем

Следовательно, существует возрастающая функция параметра со свойствами: при и

при

Фиксируем точек . В силу неравенства (2) имеем

Заменяя в неравенстве (2) а на на получаем

Из двух последних неравенств следует, что

при

Обозначая через полином, стоящий под знаком модуля в левой части неравенства (3), имеем

где алгебраические дополнения элементов определителя

как это было в доказательстве леммы 2.4 (стр. 15). Отсюда вытекает, что при некоторой постоянной К выполняются неравенства

При имеем

Из неравенства (4), полагая находим

Записывая эти неравенства для и складывая их, получаем оценку

Подберем для произвольных а и (3 целые положительные числа тип так, чтобы

Заменяя в неравенстве (4) число (3 на получаем

Заменяя в неравенстве (4) число а на получаем

Из неравенств (5), (6) и (7) находим

Это неравенство доказывает, что пределы

существуют, причем

Из неравенств (2) и (8) вытекает, что при

где Докажем, что функция

удовлетворяет соотношению (1). Действительно, в силу неравенства (9), при имеем

Поэтому правый предел отношения равен Аналогично при проверяем, что и левый предел равен тому же.

Для завершения доказательства достаточно отметить,

Теорема X (Лоясевич [8, 9]). Если обобщенная функция имеет в точке некоторое значение, то и обобщенная функция также имеет в точке некоторое наценив.

Действительно, пусть непрерывная функция и целое число таковы, что и предел

существует. Если то -непрерывная функция, а значит, также непрерывная, и теорема справедлива. Если же то

Из теоремы IX вытекает, что обобщенная функция имеет в точке значение, равное нулю. Обобщенная функция отличается от на постоянную, а потому также имеет в точке некоторое значение.

Пусть удовлетворяет условию §11.

17.1. Если обобщенная функция имеет в точке значение то обобщенная функция имеет в точке значение

Действительно, при а имеем Отсюда, по лемме 11.3, заключаем, что

Пусть удовлетворяет условиям §12.

17.2. Если обобщенная функция имеет некоторое значение в точке то обобщенная функция имеет в то же самое значение.

Действительно, по теореме IX существуют непрерывная функция и целое число такие, что

где с — значение в точке . В силу равенства

имеем

Следовательно,

Дифференцируя в обобщенном смысле, получаем

Но, поскольку

в силу леммы 11.3 имеем

После подобных шагов окончательно получаем