§ 19. Интеграл от обобщенной функции

Под неопределенным интегралом обобщенной функции заданной в интервале мы понимаем всякую обобщенную функцию определенную в интервале для которой Из леммы 6.7 и теоремы III следует, что неопределенный интеграл от любой обобщенной функции существует и определяется с точностью до постоянной (так же, как и для обычных функций). В случае, когда обобщенная функция является обычной функцией, данное нами определение совпадает с обычным.

Из теоремы X вытекает лемма

19.1. Всякая регулярная течка обобщенной функции является также регулярней точкой неопределенного интеграла от

Введем следующее обозначение:

где а точки а и принадлежат интервалу Обобщенная функция (1) определена в общей части интервалов и не зависит от выбора неопределенного интеграла Если -локально интегрируемая функция, то выражение (1) имеет обычный смысл.

Справедливы следующие формулы:

Теорема XI. Если

Действительно, существуют целое число и непрерывные функции такие, что Следовательно, Дифференцируя раз, получаем в силу теоремы IV формулу (2).

Следующая теорема является прямым следствием теоремы XI.

Теорема XII. Для любого сходящегося ряда обобщенных функций имеет место равенство

Можно дать эквивалентное определение интеграла (1) как предела сумм

(где взятого по последо вательности разбиений, аналогично тому, как это делается в теории интеграла Римана. Чтобы доказать эквивалентность этих определений, достаточно представить интеграл где - непрерывная функция и в виде предела аналогичных сумм и продифференцировать этот предел раз.

Значение обобщенной функции при если таковое существует, будем обозначать символом

Этот символ, если он имеет смысл, всегда является числом. Если обобщенная функция локально интегрируема, то (3) — ее обычный определенный интеграл.

Непосредственно из определения вытекает, чтов случае, когда а и регулярные точки неопределенного интеграла обобщенной функции имеет место формула

Равенство (4) примем за определение определенного интеграла в случае, когда а или бесконечно. В частности, имеем формулы

Заменяя на в формуле (1) § 11 и интегрируя, находим

Это соответствует классическому интегрированию по частям.

Полагая получаем, согласно лемме

в предположении, что соответствующие значения существуют и что по меньшей мере один из интегралов в левой части имеет смысл. Формула (7) остается справедливой, когда а или бесконечно, если удовлетворяет условиям леммы 18.5 или аналогичным условиям при

Применяя формулу (7), легко показать, что

Действительно,

Аналогично можно доказать формулу

Пусть функция удовлетворяет требованиям §12; тогда имеет место оэычная форма замены переменного

при условии, что в точках существуют значения неопределенного интеграла от

Действительно, пусть неопределенный интеграл от т. е. Полагая видим, что левая часть равенства (10) равна (0). С другой стороны, полагая для правой части равенства (10) получаем

Поскольку в точках существуют значения имеем в силу леммы 17.2. Таким образом, правая и левая части равенства (10) равны.

Заметим что равенство (10) может нарушиться, если значения в точках не существуют. Положим, например, Тогда как легко подсчитать,

При этом а значит, правая и левая части формулы (10) различны.