§ 16. Значение обобщенной функции в точке

Докажем сначала следующую лемму:

16.1 (Железный [5]). Если обобщенная функция определенная в интервале удовлетворяет уравнению

то она является постоянной функцией.

Из равенства (1) вытекает, согласно формуле (2) § 15, что при а тогда, по теореме VIII,

Следовательно, по лемме 6.7,

где с — некоторая постоянная. Из равенства (1), применяя формулу (6) § 12, получаем

а отсюда, в силу леммы 13.1, следует, что Этим доказано, что

16.2. Если предел

существует, то он является постоянной функцией.

Действительно, обобщенная функция удовлетворяет условию леммы 16.1.

Значение функции, определяемой формулой (2), будем называть значением обобщегшой функции в точке Если значение обобщенной функции в точке существует, т.е. если существует предел (2), то точка называется регулярной. В противном случае она называется сингулярной.

16.3. Если обобщенная функция является локально интегрируемой функцией, непрерывной в точке то при Следовательно, -регулярная точка, а значение в точке в смысле теории обобщенных функций равно

16.4. Если функция имеет в точке обычную производную, то последняя равна значению обобщенной функции в этой точке.

По предположению, существует предел

(здесь все символы понимаются в классическом смысле). Следовательно, при

Дифференцируя в обобщенном смысле эту формулу, получаем

что и доказывает лемму.

Обратное утверждение неверно. Может случиться, что обычная производная в данной точке не существует, хотя обобщенная производная и имеет в этой точке некоторое значение. Например, функция не имеет обычной производной в точке 0. Однако обобщенная производная имеет в точке 0 значение 0. В самом деле, имеем

Отсюда, последовательно дифференцируя, получаем

Следующая лемма является частным случаем леммы 16.4?

16.5. Пусть -локально интегрируемая функция, причем функция имеет обычную производную в точке тогда значение этой производной является значением обобщенной функции в точке

Значение обобщенной функции будем обозначать символом как и в случае обычных функций. Такая запись не приводит к недоразумениям. Действительно, если обобщенная функция является непрерывной функцией, то значения в обоих смыслах совпадают в силу леммы 16.3. Если же только локально интегрируема (или, в более общем случае, является функцией с полюсами), то, согласно лемме 16.5, значения обобщенной функции существуют почти всюду. Значения в обоих смыслах при этом совпадают почти всюду, но, вообще говоря, не всюду. В случае несовпадения мы условимся обозначать символом значение в смысле теории обобщенных функций.

Примеры. Согласно лемме 16.3, всякая точка является регулярной точкой функции Хевисайда причем значение в точке в обобщенном смысле совпадает со значением в обычном смысле. Точка является сингулярной, поскольку предел выражения

при не существует.

2°. Функция Дирака имеет значение 0 в каждой точке и не имеет никакого значения в точке Действительно, дифференцируя формулу (3), получаем

Из существования предела вытекало бы, что является обычной функцией, тождественно равной нулю.

3°. Из леммы 16.5 следует, что значение (в обобщенном смысле) функции в точке 0 равно 0.

Действительно, выполнив замену переменного (где знак берется при а знак — при и применяя

вторую теорему о среднем значении, находим

а отсюда

Можно доказать, что в случае, когда значение обобщенной функции равно нулю всюду, эта обобщенная функция является нулевой функцией (Лоясевич [9]). Таким образом, обобщенная функция однозначно определяется ее значениями, если таковые существуют всюду.