Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 16. Значение обобщенной функции в точкеДокажем сначала следующую лемму: 16.1 (Железный [5]). Если обобщенная функция
то она является постоянной функцией. Из равенства (1) вытекает, согласно формуле (2) § 15, что
Следовательно, по лемме 6.7,
где с — некоторая постоянная. Из равенства (1), применяя формулу (6) § 12, получаем
а отсюда, в силу леммы 13.1, следует, что 16.2. Если предел
существует, то он является постоянной функцией. Действительно, обобщенная функция Значение функции, определяемой формулой (2), будем называть значением обобщегшой функции 16.3. Если обобщенная функция 16.4. Если функция По предположению, существует предел
(здесь все символы понимаются в классическом смысле). Следовательно, при
Дифференцируя в обобщенном смысле эту формулу, получаем
что и доказывает лемму. Обратное утверждение неверно. Может случиться, что обычная производная в данной точке не существует, хотя обобщенная производная и имеет в этой точке некоторое значение. Например, функция
Отсюда, последовательно дифференцируя, получаем
Следующая лемма является частным случаем леммы 16.4? 16.5. Пусть Значение обобщенной функции Примеры.
при 2°. Функция Дирака
Из существования предела 3°. Из леммы 16.5 следует, что значение (в обобщенном смысле) функции Действительно, выполнив замену переменного вторую теорему о среднем значении, находим
а отсюда
Можно доказать, что в случае, когда значение обобщенной функции
|
1 |
Оглавление
|