§ 18. Значение обобщенной функции в бесконечности

Докажем лемму

18.1. Для любой обобщенной функции предел

(если он существует) является постоянной функцией.

Обозначим предел (1) символом При произвольном а имеем

Отсюда

и, следовательно, -постоянная функция.

Значение функции, определяемое равенством (1), называется значением обобщенной функции и обозначается символом

Аналогично определяется значение обобщенной функции

Символы очевидно, имеют смысл в том и только в том случае, когда существуют соответствующие пределы.

18.2. Пусть обобщенная функция является непрерывной функциейу имеющей обычный предел с в (соответственно тогда при (соответственно при Следовательно, (соответственно

Следующая лемма непосредственно вытекает из определения и из теоремы VII.

18.3. Если существует, то Если существует, то

Отсюда, как частный случай, при получаем

18.4. Если локально интегрируемая функция, для которой сходится несобственный интеграл то

Из этого замечания вытекает, что существуют непрерывные функции имеющие обобщенное значение но не имеющие обычного предела в точке

Пусть удовлетворяет условию § 11.

18.5. Если обобщенная функция имеет в значение и если

при то обобщенная функция имеет в точке значение

Эта лемма непосредственно вытекает из леммы 11.3.