Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9. Последовательности и ряды обобщенных функцийМы говорим, что последовательность
если существуют цеое число
Предел Действительно, соотношения
Можно считать, что
Разности
Теорема IV. Для любой последовательности обобщенных функций Действительно, если имеют место ссотношения (1), то
Из определения сходимости (при 9.1. Последовательность Более общая лемма: 9.2. Последовательность функцией сходится к Эта лемма вытекает из почти равномерной сходимости последовательности интегралов Теорема Иными словами, Из условия С другой стороны, если Аналогичная теорема имеется в теории действительных чисел Кантора, в которой доказывается, что последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу а тогда и только тогда, когда она является фундаментальной последовательностью числа а. Ввиду теоремы V последовательности
Из теоремы V и леммы 2.5 следует лемма: 9.3. Последовательность полиномов степени В частности: 9.4. Последовательность постоянных функций тогда и только тогда сходится в обобщенном смысле, когда она сходится в обычном смысле. Из определения сходимости непосредственно вытекает, что арифметические действия над пределами последовательностей обобщенных функций можно выполнять так же, как и над пределами последовательностей обычных функций:
Ряд обобщенных функций
Из теоремы IV следует Теорема VI. Для любого сходящегося ряда обобщенных функций
Иначе говоря, всякий сходящийся ряд обобщенных функций можно дифференцировать почленно. Теоремы I, IV и VI дают поразительные преимущества в практических применениях теории обобщенных функций. Они позволяют без каких бы то ни было ограничений дифференцировать любую функцию и переставлять дифференцирование и переход к пределу. Теоремы IV и VI значительно проще аналогичных теорем дифференциального исчисления, в котором необходимы некоторые дополнительные предположения. Таким образом, введение обобщенных функций, обобщенных производных и обобщенной сходимости облегчает и автоматизирует выкладки, что подтверждает целесообразность этих понятий. Определение сходимости можно распространить на последовательности обобщенных функций, определенных в различных интервалах. Мы говорим, что последовательность функций Высказанное определение обобщает понятие почти равномерной сходимости § 2. Далее мы говорим, что последовательность В этом случае мы пишем Теорема IV и леммы
|
1 |
Оглавление
|