§ 9. Последовательности и ряды обобщенных функций

Мы говорим, что последовательность обобщенных функций сходится к обобщенной функции и пишем

если существуют цеое число непрерывная функция и последовательность непрерывных функций, такие, что

Предел если он существует, единственен.

Действительно, соотношения означают, что существуют последовательности непрерывных функций и и целые числа со свойствами:

Можно считать, что Согласно леммам 6.9 и 2.6, существуют такие функции и что

Разности образуют последовательность полиномов степени поскольку По лемме 2.4 предел этой последовательности также является полиномом степени а поэтому

Теорема IV. Для любой последовательности обобщенных функций и для любого целого из сходимости вытекает сходимость Иначе говоря, каждую сходящуюся последовательность обобщенных функций можно дифференцировать почленно.

Действительно, если имеют место ссотношения (1), то

Из определения сходимости (при непосредственно вытекает лемма:

9.1. Последовательность непрерывных функций, сходящаяся почти равномерно к функции сходится к также и в смысле теории обобщенных функций.

Более общая лемма:

9.2. Последовательность локально интегрируемых функций, сходящаяся почти всюду к функции и ограниченная некоторой локально интегрируемой

функцией сходится к также и в смысле теории обобщенных функций.

Эта лемма вытекает из почти равномерной сходимости последовательности интегралов к интегралу

Теорема Последовательность непрерывных функций сходится к обобщенной функции тогда и только тогда, когда она является фундаментальной последовательностью обобщенной функции

Иными словами, тогда и только тогда, когда

Из условия вытекает, согласно равенствам (1) и лемме 6.8, что последовательность фунда ментальная. Кроме того, в силу первого из этих равенств и леммы Отсюда, по лемме 6.4, получаем т. е.

С другой стороны, если то последовательность фундаментальная, т. е. выполняются два первых равенства (1) и, в силу леммы 4.1, имеет место соотношение Дифференцируя последнее соотношение раз, получаем Таким образом, имеет место также и третье равенство (1) и, значит, доказано, что

Аналогичная теорема имеется в теории действительных чисел Кантора, в которой доказывается, что последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу а тогда и только тогда, когда она является фундаментальной последовательностью числа а.

Ввиду теоремы V последовательности примеров 2° и 3° (§ 2) сходятся к в смысле теории обобщенных функций. В классическом анализе рассматривалось много последовательностей функций, сходящихся к в смысле теории обобщенных функций, например:

Из теоремы V и леммы 2.5 следует лемма:

9.3. Последовательность полиномов степени тогда и только тогда сходится в обобщенном смысле, когда она сходится почти равномерно.

В частности:

9.4. Последовательность постоянных функций тогда и только тогда сходится в обобщенном смысле, когда она сходится в обычном смысле.

Из определения сходимости непосредственно вытекает, что арифметические действия над пределами последовательностей обобщенных функций можно выполнять так же, как и над пределами последовательностей обычных функций:

Ряд обобщенных функций называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм Предел называется суммой этого ряда. В этом случае мы пишем

Из теоремы IV следует

Теорема VI. Для любого сходящегося ряда обобщенных функций

Иначе говоря, всякий сходящийся ряд обобщенных функций можно дифференцировать почленно.

Теоремы I, IV и VI дают поразительные преимущества в практических применениях теории обобщенных функций.

Они позволяют без каких бы то ни было ограничений дифференцировать любую функцию и переставлять дифференцирование и переход к пределу.

Теоремы IV и VI значительно проще аналогичных теорем дифференциального исчисления, в котором необходимы некоторые дополнительные предположения. Таким образом, введение обобщенных функций, обобщенных производных и обобщенной сходимости облегчает и автоматизирует выкладки, что подтверждает целесообразность этих понятий.

Определение сходимости можно распространить на последовательности обобщенных функций, определенных в различных интервалах.

Мы говорим, что последовательность функций определенных в интервалах сходится к функции почти равномерно в некотором интервале если всякий конечный замкнутый интервал содержащийся в содержится при достаточно больших также и в интервалах а функции сходятся к равномерно на . В этом случае мы пишем: в интервале

Высказанное определение обобщает понятие почти равномерной сходимости § 2.

Далее мы говорим, что последовательность обобщенных функций, определенных в интервалах сходится к обобщенной функции в интервале если выполнены условия (1), приведенные в начале этого параграфа. При этом почти равномерная сходимость понимается в только что указанном более общем смысле.

В этом случае мы пишем в интервале

Теорема IV и леммы остаются справедливыми.