§ 21. Обобщенные функции бесконечного порядка

Понятие обобщенной функции было введено в математику С. Д. Соболевым (16) в 1936 г.; Л. Шзарц [18, 19, 20]

назвал эти функции «distributions» и развил их теорию в 1945 и последующих годах. Определение Соболева отлично от приведенного в данной работе.

Обобщенные функции, рассмотренные в данной работе, называются обобщенными функциями конечного порядка, ибо они являются производными конечного порядка от обычных функций. Обобщенные функции Соболева и Шварца являются производными непрерывных функций только локально, а не на всем рассматриваемом интервале. В настоящем параграфе мы собираемся изменить наше определение с тем, чтобы получить понятие, эквивалентное понятию Соболева-Шварца.

Последовательность непрерывных функций определенных в фиксированном интервале (конечном или бесконечном), называется фундаментальной, если для любого конечного замкнутого интервала а с существуют целое число и последовательность непрерывных функций определенных при такие, что:

1° при

2° равномерно сходится.

Мы говорим, что фундаментальные последовательности непрерывных функций, определенных в интервале эквивалентны, если для любого конечного замкнутого интервала существуют целое число и последовательности непрерывныхфункций такие, что:

1°

2°. Последовательности сходятся к одному и тому же пределу равномерно на интервале

В этом новом определении существенно, что выбор целого числа зависит от интервала

Классы эквивалентных последовательностей называются обобщенными функциями.

Последовательность, фундаментальная в прежнем смысле, является, очевидно, фундаментальной и в новом смысле. Обратно, если последовательность фундаментальна

в новом смысле и если можно выбрать целое число общее для всех интервалов то можно также выбрать и функции общие для всех интервалов; таким образом, последовательность является фундаментальной в прежнем смысле. Обобщенные функции в новом смысле, определяемые подобными последовательностями, называются обобщенными функциями конечного порядка.

Последовательности, фундаментальные в прежнем смьсле, эквивалентны в новом смысле тогда и только тогда, когда они эквивалентны в прежнем смысле; доказательство мы здесь опускаем.

В силу предыдущих замечаний обобщенные функции в прежнем смысле можно отождествить с обобщенными функциями конечного порядка.

Для новых обобщенных функций можно определить сложение, вычитание, умножение на число или на функцию, замену переменного, дифференцирование, интегрирование и т. п. При этом основные свойства этих действий сохраняются.

Для любого интервала существует такое целое число что данная обобщенная функция является производной порядка некоторой непрерывной функции на этом интервале. Целое число можно выбрать общим для всех интервалов тогда и только тогда, когда обобщенная функция имеет конечный порядок. В этом случае обобщенная функция оказывается производной непрерывной функции во всем интервале . В противном случае обобщенная функция имеет бесконечный порядок.

Определение сходимости нужно изменить, ввиду того что новые обобщенные функции не являются, вообще говоря, производными никакого порядка от функций, непрерывных в

Именно, мы говорим, что последовательность обобщенных функций сходится к обобщенной функции если для любого конечного замкнутого интервала существуют целое число и непрерывные функции со свойствами: и последовательность равномерно сходится к

Остаются справедливыми все предыдущие теоремы, касающиеся сходимости. Сходимость в прежнем смысле влечет сходимость в новом смысле, но не наоборот. Например, ряд

сходится в новом смысле, но не сходится в прежнем смысле. Этот ряд представляет обобщенную функцию бесконечного порядка.