§ 13. Равенство обобщенных функций на интервалах

Любую обобщенную функцию в интервале можно в случае необходимости рассматривать как обобщенную функцию в некотором меньшем интервале поскольку функции любой фундаментальной последовательности, представляющей можно рассматривать как функции в этом меньшем интервале.

Например, в разности где обобщенная функция в интервале обе обобщенные функции следует рассматривать как обобщенные функции в общей части интервалов Тогда разность будет обобщенной функцией в этой общей части. Если интервалы не имеют общей части, то разность не имеет смысла.

Вообще, сумма и разность являются обобщенными функциями в общей части интервалов, в которых определены Аналогичное замечание относится и к произведению

Если мы записываем одно лишь равенство

мы всегда подразумеваем, что обобщенные функции в обеих его частях определены на одном и том же интервале и равны. До сих пор мы поступали таким образом и так же будем поступать в дальнейшем.

Записывая же

подразумевать, что интервал содержится в каждом из интервалов, в которых определены и что рассматриваемые как обобщенные функции при а равны.

Например, мы имеем

В самом деле, фундаментальные последовательности примеров 2° и 3° (§ 2), если их рассматривать на каком-либо из интервалов — или сходятся почти равномерно к нулю и определяют поэтому нулевую обобщенную функцию.

Более общий случай:

это означает, что предыдущее равенство справедливо в интервалах

Теорема VIII. Если при то обобщенная функция имеет вид

Действительно, существует такая непрерывная функция что . В силу теоремы II функция является полиномом степени в каждом из интервалов

Функцию можно записать в виде

где

Легко видеть, что

и

что и доказывает теорему, причем

Если при то представление обобщенной функции в форме (2) единственно. Это вытекает из следующей леммы:

13.1. Пусть -некоторая функция и

на всей оси Тогда

Будем рассуждать по индукции. Случай очевиден, поскольку обобщенная функция не является обычной функцией. Предположим, что утверждение справедливо для

Из соотношения (3) вытекает, что при Таким образом, функция является обобщенной функцией, равной Применяя лемму 6.6 к соотношению (3), получаем

Отсюда, по предположению индукции, заключаем, что а потому и

На примере формулы (1) мы видим, что обобщенные функции, равные друг другу в интервалах — отличающиеся только в одной точке, не обязательно равны. Из теоремы VIII следует, что их разность является конечной линейной комбинацией обобщенной функции и ее производных. Тем не менее обобщенные функции, отличающиеся самое большее в одной точке и являющиеся обычными функциями, равны.