§ 1. Метод абстракции

Метод абстракции состоит в отождествлении предметов (математических объектов), имеющих некоторое общее свойство. Он часто применяется в математике для построения ноеых понятий. Поясним этот метод на примерах.

Направленные отрезки х и у называются эквивалентными, если они параллельны и имеют одинаковую длину и ориентацию. В этом случае мы пишем

Легко видеть, что определенное выше отношение эквивалентности обладает следующими свойствами;

Отождествляя эквивалентные направленные отрезки, мы приходим к понятию свободного вектора. Разъясним математический смысл этого отождествления. При помощи отношения эквивалентности мы получаем такое разбиение множества всех направленных отрезков на непересекающиеся классы, при котором отрезки из одного и того же класса эквивалентны, а отрезки из различных классов не эквивалентны. Таким образом, с логической точки зрения, каждый свободный вектор является классом эквивалентных направленных отрезков.

Другим примером метода абстракции служит канторово определение действительного числа. Отправной точкой здесь является понятие фундаментальной последовательности рациональных чисел. Под фундаментальной последовательностью мы понимаем последовательность удовлетворяв

ющую условию Коши: для любого (рационального) числа существует такой номер что

Фундаментальные последовательности рациональных чисел называются эквивалентными, если последовательность стремится к нулю. В этом случае мы пишем Легко проверить, что это отношение эквивалентности обладает свойствами

Отождествляя эквивалентные фундаментальные последовательности, мы приходим к понятию действительного числа. Таким образом, в теории Кантора действительное число является классом эквивалентных фундаментальных последовательностей.

Метод абстракции можно применять к множествам, состоящим из произвольных элементов, при условии, что имеется некоторое отношение эквивалентности, удовлетворяющее условиям .

Для каждого элемента у обозначим через класс элементов удовлетворяющих соотношению Полученные таким образом классы будем называть классами эквивалентности. Из условий вытекает следующее:

(a) у принадлежит [у];

(b) если то т. е. классы состоят из одних и тех же элементов;

(c) если соотношение не выполняется, то классы не имеют ни одного общего элемента.

Свойство следует из

Для того чтобы доказать предположим, что Если принадлежит классу то у и в силу т. е. принадлежит классу . С другой стороны, в силу Поэтому, если принадлежит классу т. е. то у в силу т. е. принадлежит классу

Для того чтобы доказать предположим, что соотношение не выполняется, но существует элемент принадлежащий классам Это значит, что а тогда в силу что противоречит предположению.

Из видно, что все множество разбито на классы без общих элементов так, что два элемента принадлежат одному и тому же классу в том и только в том случае, когда они эквивалентны. Отождествление эквивалентных элементов Состоит в переходе от элементов рассматриваемого множества к классам эквивалентности. При этом отношение эквивалентности превращается в обычное равенство.