§ 10. Обобщенные функции, зависящие от непрерывного параметра

Сходимость обобщенных функций, зависящих от непрерывного параметра, удобно определить сразу в общем случае, т. е. в случае, когда обобщенные функции определены в интервалах, также зависящих от этого параметра.

Мы говорим, что функция определенная в интервале стремится при а к функции почта равномерно в интервале если всякий конечный замкнутый интервал содержащийся в содержится также и в интервалах при а, достаточно близком к а функции стремятся к равномерно на при . В этом случае мы пишем

Мы говорим, что обобщенная функция определенная в интервале стремится при а к обобщенной функции определенной в интервале и пишем

или

если существуют целое число непрерывная функция определенная при и непрерывная функция определенная (при а, лежащем в некоторой окрестности в интервале удовлетворяющие условиям:

Если предел существует, то единственен. Доказательство аналогично доказательству для последовательностей.

Равенство (1), как хорошо известно, выполняется тогда и только тогда, когда

для любой последовательности

Мы докажем сейчас аналогичное утверждение для обобщенных функций.

10.1 (Влёка [1]). Равенство (2) выполняется тогда и только тогда, когда

для любой последовательности

Необходимость условия (3) очевидна.

При доказательстве достаточности будем писать

если существуют функции и номер такие, что

Исходя из соотношения (3), докажем существование такого целого числа что

для любой последовательности Предположим противное. Тогда существует возрастающая последовательность целых чисел а при каждом фиксированном последовательность такие, что соотношение

выполняется для и не выполняется при Не ограничивая общности, можно считать, что все числа могут быть расположены в простую последовательность сходящуюся к (в крайнем случае для этого достаточно пренебречь конечным числом начальных членов в каждой из последовательностей Из соотношения (3) следует существование такого целого числа что а значит, и при любом Это противоречит предположению, что и что соотношение (6) не выполняется при

Пусть, в дальнейшем, фиксированное целое число со свойством (5). Функция фигурирующая в соотношениях (4), определена с точностью до полинома степени Эту неоднозначность можно устранить, прибавляя такие полиномы ко всем функциям и поэтому мы будем считать, что — одна и та же для всех последовательностей

Пусть - убывающая, а - возрастающая числовые последовательности, причем Докажем, что для любого целого существует число 0 со следующим свойством:

При существует, функция , удовлеворяющая соотношениям

Действительно, в противном случае существовала бы такая последовательность что при любая функция, удовлетворяющая соотношению (7), не удовлетворяла бы неравенству (8). Но, с другой стороны, в силу соотношения (5) существуют такие функции что для достаточно больших

Эти функции удовлетворяют соотношениям (7) и (8) при достаточно больших Противоречие!

Можно считать, что Согласно предыдущему рассуждению, мы можем определить так, чтобы

для а, удовлетворяющих условию способом функции определены при Пусть задано произвольное фиксированное целое число Для имеем

Таким образом, функции стремятся к функции равномерно на интервалах т. е. при Последнее, вместе с равенством (9), означает, что при а и доказательство для случая конечного завершено.

Для или — нужны лишь очевидные изменения в доказательстве.

Следующие утверждения об обобщенных функциях, зависящих от параметра, можно доказать аналогично тому, как это делалось в случае последовательностей обобщенных функций.

Теорема VII. Если при а то при

10.2. Если при при Иначе говоря, из почти равномерного стремления к пределу функции, зависящей от параметра, вытекает стремление к пределу в смысле теории обобщенных функций.

10.3. Полином степени с коэффициентами, зависящими от параметра а, стремится к пределу при а в обобщенном смысле в том и только в том случае, когда этот полином стремится к пределу почти равномерно.

10.4. Если при а то при Если при то при