10. Число простых чисел, не превосходящих данное число

Для данного числа обозначим через и число простых чисел, не превосходящих Например, мы имеем:

(см. скан)

Л. Лохер-Эрнст заметил, что для выражение

дает достаточно хорошее приближенное значение числа Например, Для отношение равно 1,007, а для оно составляет 1,005.

Можно доказать элементарно доказательство будет длинным и сложным), что отношение стремятся к единице, когда возрастает неограниченно.

При больших вычисление выражении представляет значительные трудности. Однако известны другие приближенные выражения для например выражение (где обозначает натуральный логарифм числа ). Ж. Адамар и Ш. де ла Валле-Пуссен в 1896 г. доказали, что отношение к стремится к единице, когда неограниченно возрастает. Отсюда следует, что отношение простого числа стремится к единице, когда неограниченно возрастает. Можно доказать, что миллиардное простое число (т. е. число имеет 11 цифр.

Легко доказать, что для натуральных имеет место неравенство - если есть простое число, и неравенство если число составное. Можно доказать, что отношение стремится к нулю, когда неограниченно возрастает. Вполне очевидно, что для натуральных

Легко доказать, что существуют сколь угодно длинные последовательности, составленные из последовательных натуральных чисел, которые не содержат ни одного простого числа. Примером последовательности,

состоящей из таких чисел, может служить последовательность

ибо первое из чисел этой последовательности делится на 2, второе на 3 и т. д., последнее на таким образом, все они являются числами составными.

Для это были бы огромные числа, однако уже между простыми числами 370 261 и 370 373 лежат 111 последовательных составных чисел. Среди ста последовательных чисел от до нет ни одного простого числа

Труднее было бы доказать, что существует простое число, которое с обеих сторон окружено произвольно большим числом составных чисел, т. е. что для каждого натурального числа существует простое число такое, что каждое из чисел где является составным.

Также трудным является доказательство теоремы Э. Ландау о том, что для достаточно больших натуральных чисел мы имеем или, иначе говоря, что для таких простых чисел больше, чем простых чисел, лежащих между

Мы не знаем, для всех ли натуральных выполняется неравенство