16. Некоторые гипотезы относительно простых чисел

Пусть теперь данное натуральное число Расположим натуральные числа строк

по чисел в каждой строке, т. е. составим таблицу

Столбцы этой таблицы образуют арифметические прогрессии членами). А. Шницель высказал предположение, что если есть натуральное число не имеющее общего с делителя то столбец нашей таблицы содержит по меньшей мере одно простое число. А. Горжелевский проверил это предположение для всех натуральных чисел .

В. Серпинский высказал предположение, что каждая строка рассматриваемой таблицы (где содержит по меньшей мере одно простое число. Это предположение было проверено А. Шинцелем при помощи таблиц А. Вестерна и Лемера для всех . Первая строка таблицы (для содержит всегда простое число 2. Утверждение о том, что вторая строка таблицы содержит по крайней мере одно простое число, как легко видеть, равносильно теореме Чебышева и, следовательно, справедливо. Доказано также, что для третья строка таблицы содержит по крайней мере одно простое число, иными словами, что (для ) между лежит хотя бы одно простое число (что справедливо также для ). Вообще доказано, что для каждая из девяти первых строк таблицы содержит по крайней мере одно простое число.

Так как двумя последними строчками таблицы являются

то из предположения В. Серпинского вытекает, что между каждыми двумя последовательными квадратами натуральных чисел лежит по меньшей мере два простых числа. Далее, так как легко доказать, что если

натуральное число, то существует натуральное число такое, что

то из предположения В. Серпинского следует, что между каждыми двумя последовательным» кубами натуральных чисел содержится по крайней мере два простых числа. Мы не знаем, справедливо ли это, однако доказано, что для достаточно больших натуральных чисел между содержится произвольно много простых чисел.

Упомянем здесь еще о том, что, как заметил Ладислав Скуля, из предположения относительно рассматриваемой таблицы (для следует, что как так строки содержат хотя бы по одному простому числу (или что для натуральных каждая из последовательностей содержит по крайней мере одно простое число). Для строки это, вообще говоря, неверно. Например, при или при получаются последовательности не содержащие ни одного простого числа.

Из предположения относительно рассматриваемой таблицы можно также легко вывести, что если все натуральные числа выписывать последовательно в строчки по чисел в строке, т. е. если составить бесконечную треугольную таблицу

то в каждой строке этой таблицы, начиная со второй, найдется по крайней мере одно простое число. Мы не знаем, справедливо ли это утверждение.