11. Некоторые свойства n-го по порядку простого числа

Согласно теореме Шерка, доказанной им в 1830 г., для натуральных и при соответствующем выборе знаков или — имеем следующие формулы:

Так, например,

или

Можно также доказать, что для натуральных при соответствующем выборе знаков или — имеем

Например, или

А. Шинцель доказал, что если а и положительные числа, причем то существуют простые числа такие, что

Можно доказать, что для каждого вещественного положительного последовательность с общим членом стремится к когда неограниченно возрастает.

Доказано, что существует бесконечное множество простых чисел таких, что последующее простое число ближе к числу чем простое число, предшествующее ему, а также таких, что предшествующее простое число ближе к числу чем простое число, следующее после Иными словами, доказано, что существует бесконечное множество натуральных чисел таких, что т. е. а также, что существует бесконечно много натуральных чисел таких, что

Но мы не знаем, существует ли бесконечное множество таких для которых Высказано предположение, что ответ на этот вопрос должен быть положительным. Так, например, мы имеем

П. Эрдеш и П. Туран доказали, что существует бесконечно много натуральных чисел таких, что и бесконечно много таких, что

Доказано, кроме того, что для

Для последовательных простых чисел имеет место также следующая теорема (доказательство которой хотя и не трудное, но довольно длинное):

Для каждого натурального существует натуральное число такое, что

(Уже для и составляло бы несколько десятков тысяч.)

Можно указать четыре последовательных простых числа, дающих две пары чисел близнецов, например 11, 13, 17, 19 или 179, 181, 191, 193. Если такой комплекс составлен из простых чисел то мы говорим, что имеется четверка. В первом из указанных здесь примеров мы имеем четверку, а во втором нет. Другие примеры четверок мы получаем для р = 5, 101, 191, 821, 1481, 3251. Высказано предположение, что четверок существует бесконечно много.

В первых десяти миллионах, как подсчитал В. А. Голубев в 1969 г., имеется 899 четверок, в первых же пятнадцати миллионах — 1209. Самая далекая четверка, известная в настоящее время, была указана А. Ферье. Она получается при