23. Простые числа видов n^n+1, n^n^n+1 и некоторых других видов

В связи с числами Ферма напрашивается вопрос, сколько существует простых чисел вида пп где натуральное число. Предположим, что натуральное и что число является простым. Каждое натуральное есть, как известно, число вида где целое число нечетное. Если бы оказалось числом, большим единицы, то число было бы и делящимся на следовательно, было бы составным. Таким образом, должно быть а значит,

Если то и число является простым. Если же то где есть целое число нечетное. Если бы было то число как число, большее чем и делящееся на это число, было бы составным. Таким образом, должно быть следовательно, значит,

Итак, число где натуральное число тогда и только тогда является простым, когда где целое число есть простое число.

Для так как число есть простое, мы получаем простое число Для так как число есть простое, получаем простое число Для так как как известно, есть число составное, делящееся на мы не получим простого числа. Для мы также не получим простого числа, ибо является числом составным, делящимся на Таким образом, если кроме чисел 2, 5 и 257 существует еще простое число видая" то оно должно быть , т. е. должно быть числом, имеющим более чем триста тысяч цифр.

Следовательно, среди чисел вида пп натуральное число), имеющих не более чем триста тысяч цифр, содержится только три простых числа:

Принимая это во внимание, можно рискнуть высказать гипотезу о том, что не существует простых чисел вида пп где натуральное число, кроме трех: 2, 5 и 257. Следует, однако, заметить, что из этой гипотезы вытекало бы, что существует бесконечно много чисел Ферма, являющихся составными: таковыми были бы числа для т. е. числа Ни об одном из этих чисел, однако, до сих пор не доказано, что оно является составным.

Рассмотрим теперь, что известно о простых числах вида Имеем . Легко доказать, что если число где натуральное число является простым, то при некотором целом должно быть следовательно,

Для мы получаем простое число для число о котором известно, что оно является составным, делящимся на Для получаем число которое, как легко можно доказать, имеет более чем цифр. Отсюда следует, что

Среди чисел, имеющих не более чем миллиард миллиардов цифр, существует только два простых числа вида где натуральное число, именно 2 и 17.

Рассмотрим также, какие из чисел вида где являются простыми (это так называемые числа Каллена). Кроме числа 3 (для ), мы знаем еще только одно такое простое число для Вопрос, сколько имеется таких простых чисел, остается открытым.

Легко доказать, что не существует других простых чисел вида кроме простых чисел Ферма. Действительно, если где нечетное число то число делится на меньшее число следовательно, является составным. Из простых чисел вида где мы знаем, таким образом, только пять, именно для .

наименьшее же число этого вида, о котором мы не знаем, простое оно или нет, есть число Следовательно, мы знаем также только четыре простых числа вида где натуральное число, именно для . Зато мы знаем 19 простых чисел вида именно для . Простых чисел вида где мы знаем только три: для . Простых же чисел вида где мы знаем 12: для .

Для каждого натурального числа за исключением мы знаем по крайней мере одно натуральное число такое, что число к является простым. Однако можно доказать, что существует бесконечно много таких натуральных чисел к, для которых каждое из чисел является составным.

Займемся теперь простыми числами вида где натуральные числа, Такими числами являются, например,

Неизвестно, существует ли бесконечное множество таких простых чисел. Зато легко доказать, что существует бесконечно много составных чисел указанного вида. Это вытекает, например, тотчас же из равенства для из замечания, что для число всегда делится на 5, число же при натуральных всегда делится на 3. Имеем также разложение .

А. Рихнер установил, что для числа являются простыми только для . Легко доказать, что среди чисел имеется бесконечно много составных, а именно числа все делятся на 19. Числа же Для все делятся на

Заметим также, что для следовательно, и каждое из чисел

делится на 13 и, значит, является составным.

Мы не знаем, имеется ли среди чисел

только конечное число простых. Зато легко можно доказать, что среди чисел

нет ни одного простого, так как каждое из этих чисел делится на 7. Действительно, для натуральных число при делении на 3 дает в остатке 1, следовательно, где натуральное число. Отсюда что, очевидно, делится на 7.

Неизвестно, существует ли такое натуральное число для которого имеется бесконечно много простых чисел вида где суть натуральные числа.

Мы не знаем также, существует ли бесконечно много простых чисел вида где — натуральное число. Четырьмя наименьшими такими простыми числами являются

Как заметил А. Монковский, существует только одно простое число, именно число 5, вида где натуральное. В самом деле, если то не может быть числом четным. Пусть где натуральное. Но тогда есть число составное.

А. Шинцель доказал, что для всякого натурального числа а, где существует по крайней мере одно натуральное число такое, что число является составным. Если бы, опираясь на этот факт, мы рискнули высказать гипотезу, что для всякого натурального существует по крайней мере одно натуральное такое, что число оказывается составным, то из этой гипотезы вытекало бы существование бесконечного множества составных чисел Ферма, ибо для (где имеем (Заметим, что для гипотезу еще не удалось подтвердить).

Легко доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел а, для которых все числа где являются составными. Таковы, например, все числа где натуральное число нечетное число

С другой стороны, мы не знаем ни одного натурального числа для которого мы могли бы доказать, что среди чисел существует бесконечно много простых.

Из гипотезы Шинцедя (о которой речь будет идти в § 30) вытекает, что для всякого натурального числа существует такое натуральное число что все чисел где являются простыми.

Для можно взять Но трудно было бы найти такое число для