15. Доказательство теорем, согласно которым имеется бесконечно много простых чисел каждого из видов

Пусть означает любое натуральное число Тогда число есть число четное, а нечетное число как число, большее единицы, согласно теореме 1, имеет простой делитель очевидно, нечетный и, следовательно, имеющий вид или (где целое число), причем Предположим, что Очевидно, мы имеем ибо, как известно, для натуральных а и нечетных число делится на а (причем . Так как то, учитывая, что мы можем заключить, что следовательно, Но, согласно теореме Ферма, Отсюда что невозможно, так как есть простое нечетное число Следовательно, должно быть числом вида Таким образом, мы доказали, что для каждого натурального числа существует простое число имеющее форму (и что таким числом является каждый простой делитель числа . Тем самым доказана

Теорема 10. Простых чисел вида имеется бесконечно много.

В связи с нашим доказательством напрашивается вопрос, для каждого ли простого числа вида существует натуральное число такое, что (Например, имеем: Можно показать (см. § 19), что если есть простое число вида то Следовательно,

Возникает также вопрос, сколько имеется простых чисел вида Доказательство того, что их бесконечно много, опирается на следующую лемму.

Лемма. Каждое натуральное число вида имеет по меньшей мере один простой делитель того же вида.

Доказательство. Пусть Это число имеет, очевидно, натуральные делители вида (где

есть целое число), так как само является одним из них. Обозначим через наименьший из таких делителей. Ясно, что Если бы было числом составным, мы имели бы где а и были бы натуральными числами и меньшими причем нечетными, так как будучи числом вида есть число нечетное. Оба числа а и не могут быть вида так как тогда их произведение было бы вида что исключено. Следовательно, по крайней мере одно из чисел о и 6 есть число вида Так как делители являются одновременно делителями то будет иметь натуральный делитель вида меньший что противоречит определению числа Итак, простое число. Таким образом, лемма доказана.

Пусть теперь обозначает любое натуральное число. Число есть, очевидно, натуральное число вида Согласно лемме, оно имеет по крайней мере один простой делитель вида Здесь должно быть так как число делясь на очевидно, не делится ни на одно натуральное число Итак, мы доказали, что для каждого натурального числа существует простое число имеющее вид

Таким образом, доказана

Теорема 11. Простых чисел вида имеется бесконечно много.

Обозначим для вещественного числа через число простых чисел вида не больших чем а через число простых чисел вида не больших чем Например, Проверено, что для . Однако было бы ошибочно думать, что всегда ибо, как установил Лич в 1957 г., для

Уже в 1914 г. Литтлвуд доказал, что существует бесконечное множество натуральных чисел для которых а также бесконечное множество натуральных для которых Мы видим, таким образом, какими ненадежными могут быть гипотезы относительно простых чисел, если они выдвигаются даже на основании большого числа наблюдений.

Теоремы 10 и 11 можно сформулировать следующим образом.

Каждая из арифметических прогрессий

и

содержит бесконечно много простых чисел.

В связи с этим напрашивается вопрос: какие бесконечные арифметические прогрессии, составленные из натуральных чисел, содержат бесконечно много простых чисел?

Пусть дана бесконечная арифметическая прогрессия

у которой первый член а и разность натуральные числа.

Если а и имеют общий делитель то, очевидно, каждое из чисел нашей последовательности будет делиться на и поэтому, как легко видеть, ни один член прогрессии, кроме, быть может, первого члена, не будет простым числом. Отсюда следует: для того чтобы арифметическая прогрессия с первым членом а и разностью содержала бесконечное число простых чисел, необходимо, чтобы а и не имели общего делителя, большего 1. Как доказал еще в 1837 г. П. Г. Лежен Дирихле, это условие является также и достаточным.

Доказательство теоремы Дирихле, хотя позднее и было упрощено различными авторами, является сложным и длинным. Не менее сложно доказательство теоремы о том, что в каждой арифметической прогрессии, первый член и разность которой суть натуральные числа, не имеющие общего делителя, большего единицы, найдется по крайней мере одно простое число. Можно было бы подумать, что последняя теорема слабее теоремы Дирихле, однако нетрудно доказать, что она равносильна ей.

Некоторые частные случаи теоремы Дирихле (так называемой теоремы об арифметической прогрессии) могут быть доказаны просто. Дадим, например,

доказательство для случая для чего рассмотрим следующую лемму.

Лемма. Каждое натуральное число вида имеет по крайней мере один простой делитель того же вида.

Доказательство этой леммы совершенно аналогично доказательству леммы о числах вида с той лишь разницей, что вместо формы берем форму а затем используем замечание, что число вида как. не делящееся на 2 и 3, может иметь делители только вида или а также что произведение двух чисел вида есть число того же вида.

Для доказательства самой теоремы возьмем какое-нибудь натуральное число Тогда число будет, очевидно, вида согласно лемме, будет иметь простой делитель того же вида, причем, как легко показать, Итак, для каждого натурального числа существует простое число имеющее форму Отсюда следует

Теорема 12. Простых чисел вида имеется бесконечно много.

Итак, арифметическая прогрессия 5, 11, 17, 23, 29, 35, ... содержит бесконечно много простых чисел. Следовательно, арифметическая прогрессия

включающая в себя все члены первой прогрессии, и подавно содержит бесконечно много простых чисел, т. е. существует бесконечное множество простых чисел вида

Существуют еще некоторые другие арифметические прогрессии, относительно которых можно легко доказать, что они содержат бесконечно много простых чисел. Таковой является, например, прогрессия (где ).