20. Разложение простого числа на разность двух квадратов и другие разложения

Напрашивается вопрос, какие простые числа и сколькими способами могут быть представлены в виде разности двух квадратов натуральных чисел.

Предположим, что простое число разлагается на разность двух квадратов натуральных чисел: где х и у — натуральные числа, причем, очевидно, Отсюда значит, у являются натуральными делителями числа причем первый меньше второго. Но так как простое число, то следовательно, . Таким образом, число должно быть нечетным, и в этом случае мы имеем единственное разложение

Итак, доказана

Теорема 19. Каждое нечетное простое число представимо в виде разности двух квадратов натуральных чисел и притом только одним способом.

Легко доказать, что для того чтобы натуральное число было разностью двух квадратов натуральных чисел, необходимо и достаточно, чтобы при делении на 4 оно не давало в остатке 2.

Можно доказать, что существуют числа, допускающие достаточно большое число разложений на разность двух квадратов. Из теоремы 19 следует, что натуральное число, допускающее более чем одно разложение на разность двух квадратов натуральных чисел, не является простым.

Впрочем, легко также доказать, что если нечетное число имеет только одно разложение на разность двух квадратов целых чисел, то оно является простым. В самом деле, предположим, что нечетное число

составное и, значит, где а и натуральные числа Очевидно, имеем

причем если, например, то (так как ), и, следовательно, наши разложения являются различными.

Таким образом, нечетное составное число дает по крайней мере два различных разложения на разность двух квадратов целых чисел. Заметим, однако, что имеются нечетные составные числа, представимые единственным способом в виде разности двух квадратов натуральных чисел, например число 9. (Можно доказать, что такими числами являются квадраты простых нечетных чисел.)

Перейдем теперь к вопросу о разложении простых чисел на суммы трех квадратов натуральных чисел.

Можно доказать, что существует бесконечно много простых чисел, являющихся суммами трех квадратов натуральных чисел, а также бесконечно много простых чисел, не являющихся такими суммами. Среди простых чисел < 100 суммами трех квадратов натуральных чисел являются только следующие:

Мы видим также, что существуют простые числа, имеющие более чем одно разложение на сумму трех квадратов натуральных чисел, например числа 41, 83 и 89.

Легко доказать, что каждое целое число можно представить бесконечным числом способов в виде где натуральные числа. Для этого достаточно заметить, что для целых имеют место тождества:

Что же касается разложений простых чисел на суммы четырех квадратов натуральных чисел, то можно доказать, что такие разложения имеют все простые числа, за исключением чисел: 2, 3, 5, 11, 17, 29 и 41.

Можно также доказать, что единственными простыми числами, которые не представимы в виде суммы пяти квадратов натуральных чисел, являются числа 2, 3 и 7 и что для каждого натурального числа существует только конечное число простых чисел, не являющихся суммами квадратов натуральных чисел.

И. Човла высказал предположение, что если число 1 считать простым (как это прежде иногда делали), то каждое натуральное число является суммой восьми или меньшего числа квадратов простых чисел. Это проверено для натуральных чисел

В связи с теоремой 17 напрашивается вопрос, какие простые числа могут быть представлены в форме или в форме где х и у — натуральные числа. Здесь имеет место следующая теорема.

Для того чтобы простое число можно было представить в виде где х натуральные числа, необходимо и достаточно, чтобы было вида или Каждое простое число этих видов дает только одно разложение вида (что вытекает из теоремы 18).

Так, например,

Высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел вида и также вида таких, что где у — натуральное число, а также бесконечно много таких, что где натуральное число. Например,

Для того чтобы простое число можно было представить в виде где х и у — натуральные числа, необходимо и достаточно, чтобы было вида Каждое простое число этого вида дает только одно разложение вида

Так, например, Высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел вида таких, что где

у — натуральное число, а также бесконечно много таких, что где натуральное число. Имеем, например,

Из теоремы 17 непосредственно следует, что для того чтобы простое число можно было представить в виде где х и у — натуральные числа, необходимо и достаточно, чтобы было вида

Доказана также следующая теорема:

Для того чтобы простое нечетное число мшено было представить в виде где х и у — натуральные числа, необходимо и достаточно, чтобы было числом одного из видов: или .

Займемся теперь вопросом, какие простые числа являются суммами двух кубов натуральных чисел. На этот вопрос можно легко дать ответ. Действительно, если простое число является суммой двух кубов натуральных чисел, то и если хотя бы одно из чисел у оказалось бы больше единицы, то было бы т. е. число имело бы натуральный делитель больший единицы и меньший что невозможно. Таким образом, должно быть следовательно,

Итак, ни одно простое число, кроме числа не является суммой двух кубов натуральных чисел.

Какие же простые числа являются разностями двух кубов натуральных чисел? Если простое число и где х и у — натуральные числа, то и имеем Так как здесь второй сомножитель больше первого, то должно быть откуда

Таким образом, простое число является разностью двух кубов натуральных (и притом последовательных) чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид где натуральное число, большее единицы.

Высказано предположение, что таких простых чисел существует бесконечно много. Для мы получаем здесь простые числа

для получаем составное число для простое число для составные числа ; для -простые числа ; для составное число ; для — простые числа ; для составные числа для простое число

Итак, все простые числа < 1000, являющиеся разностями двух кубов натуральных чисел, суть следующие:

Легко можно доказать, что существует бесконечное множество простых чисел, не являющихся разностями двух кубов натуральных чисел. В самом деле, мы доказали, что каждое простое число, являющееся разностью двух кубов натуральных чисел, есть число вида где натуральное число Но из двух последовательных натуральных чисел одно всегда четное. Следовательно, наше простое число должно быть вида . Но, согласно теореме 12, существует бесконечно много простых чисел вида ни одно из которых, очевидно, не является числом вида следовательно, не является разностью двух кубов натуральных чисел. Заметим, однако, что имеются составные числа вида являющиеся разностями двух кубов натуральных чисел, например число Можно также доказать, хотя это было бы труднее, что существует бесконечно много простых чисел вида не являющихся разностями двух кубов натуральных чисел. Таковыми будут, например, простые числа 31, 67, 103, 139, 157.

Высказано предположение, что простых чисел, являющихся суммами трех кубов натуральных чисел, существует бесконечно много. Высказано даже более сильное предположение, что уже простых чисел вида где натуральное число, имеется бесконечно много. Таковы, например, простые числа Можно доказать, что существует бесконечно много простых чисел, не являющихся суммами трех кубов целых чисел.

Легко доказать, что ни одно простое число не является суммой двух степеней натуральных чисел, где есть нечетное число, большее единицы (доказательство аналогично изложенному выше для случая Заметим еще, что К. Ф. Рот в 1951 г. доказал, что каждое достаточно большое натуральное число является суммой восьми кубов натуральных чисел, из которых по крайней мере семь — кубы простых чисел.