Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
20. Разложение простого числа на разность двух квадратов и другие разложенияНапрашивается вопрос, какие простые числа и сколькими способами могут быть представлены в виде разности двух квадратов натуральных чисел. Предположим, что простое число
Итак, доказана Теорема 19. Каждое нечетное простое число представимо в виде разности двух квадратов натуральных чисел и притом только одним способом. Легко доказать, что для того чтобы натуральное число Можно доказать, что существуют числа, допускающие достаточно большое число разложений на разность двух квадратов. Из теоремы 19 следует, что натуральное число, допускающее более чем одно разложение на разность двух квадратов натуральных чисел, не является простым. Впрочем, легко также доказать, что если нечетное число имеет только одно разложение на разность двух квадратов целых чисел, то оно является простым. В самом деле, предположим, что нечетное число
причем если, например, Таким образом, нечетное составное число дает по крайней мере два различных разложения на разность двух квадратов целых чисел. Заметим, однако, что имеются нечетные составные числа, представимые единственным способом в виде разности двух квадратов натуральных чисел, например число 9. (Можно доказать, что такими числами являются квадраты простых нечетных чисел.) Перейдем теперь к вопросу о разложении простых чисел на суммы трех квадратов натуральных чисел. Можно доказать, что существует бесконечно много простых чисел, являющихся суммами трех квадратов натуральных чисел, а также бесконечно много простых чисел, не являющихся такими суммами. Среди простых чисел < 100 суммами трех квадратов натуральных чисел являются только следующие:
Мы видим также, что существуют простые числа, имеющие более чем одно разложение на сумму трех квадратов натуральных чисел, например числа 41, 83 и 89. Легко доказать, что каждое целое число можно представить бесконечным числом способов в виде
Что же касается разложений простых чисел на суммы четырех квадратов натуральных чисел, то можно доказать, что такие разложения имеют все простые числа, за исключением чисел: 2, 3, 5, 11, 17, 29 и 41. Можно также доказать, что единственными простыми числами, которые не представимы в виде суммы пяти квадратов натуральных чисел, являются числа 2, 3 и 7 и что для каждого натурального числа И. Човла высказал предположение, что если число 1 считать простым (как это прежде иногда делали), то каждое натуральное число является суммой восьми или меньшего числа квадратов простых чисел. Это проверено для натуральных чисел В связи с теоремой 17 напрашивается вопрос, какие простые числа могут быть представлены в форме Для того чтобы простое число Так, например,
Высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Для того чтобы простое число Так, например, у — натуральное число, а также бесконечно много таких, что Из теоремы 17 непосредственно следует, что для того чтобы простое число Доказана также следующая теорема: Для того чтобы простое нечетное число Займемся теперь вопросом, какие простые числа являются суммами двух кубов натуральных чисел. На этот вопрос можно легко дать ответ. Действительно, если простое число Итак, ни одно простое число, кроме числа Какие же простые числа являются разностями двух кубов натуральных чисел? Если Таким образом, простое число Высказано предположение, что таких простых чисел существует бесконечно много. Для
Итак, все простые числа < 1000, являющиеся разностями двух кубов натуральных чисел, суть следующие: Легко можно доказать, что существует бесконечное множество простых чисел, не являющихся разностями двух кубов натуральных чисел. В самом деле, мы доказали, что каждое простое число, являющееся разностью двух кубов натуральных чисел, есть число вида Высказано предположение, что простых чисел, являющихся суммами трех кубов натуральных чисел, существует бесконечно много. Высказано даже более сильное предположение, что уже простых чисел вида Легко доказать, что ни одно простое число
|
1 |
Оглавление
|