17. Теорема Лагранжа

Теорема 13. Если простое число и

есть многочлен степени с целыми коэффициентами, где коэффициент при высшей степени не делится на то среди чисел

существует не более чем таких, для которых число делится на

Доказательство. Теорема справедлива для многочленов степени 1. В самом деле, если бы среди чисел (2) было по меньшей мере два различных числа таких, что то мы. имели бы а так как то мы имели бы где будучи разностью двух различных чисел последовательности (2) и, значит, меньших не делится на Следовательно, было бы делителем произведения двух натуральных чисел, не делящихся на что противоречит теореме 7.

Пусть теперь некоторое натуральное число Предположим, что теорема справедлива для многочленов степени и допустим при этом, что для некоторого многочлена (1) степени теорема Лагранжа неверна, т. е. что существует набор целых чисел где таких, что для

Имеем Отсюда, так как для то мы легко найдем, что

где — многочлен степени целыми коэффициентами (зависящими от причем коэффициентом при будет т. е. число, не делящееся на

На основании тождества (3), мы получим

для

Но из того, что для следует, что

значит, согласно (4), имеем:

а так как числа для не делятся на то, в силу теоремы 7, должно быть

вопреки предположению, что теорема справедлива для многочленов степени

Следствие. Если есть простое число, многочлен степени с целыми коэффициентами, и если существует более чем натуральных чисел для которых делится на то все коэффициенты многочлена (1) делятся на

Доказательство. Предположим, что многочлен (1) удовлетворяет условию следствия, но не все коэффициенты его делятся на Пусть есть первый по порядку коэффициент, не делящийся на Предположим, что Для каждого натурального для которого делится на очевидно,

также делится на Таким образом, для многочлена степени существует более чем так Как более чем натуральных чисел для которых противоречит теореме Лагранжа (применимой, так как не делится на Итак, предположим, что т. е. что все коэффициенты многочлена (1), кроме делятся на Но тогда, поскольку существует число для которого делится на мы, исходя из формулы (1), должны будем заключить, что Таким образом, предположение, что наше следствие несправедливо, в каждом случае приводит к противоречию.