12. Многочлены и простые числа

Напрашивается вопрос, существует ли многочлен от переменной с целыми коэффициентами, который для каждого натурального значения дает простое число Докажем, что такого многочлена нет. Пусть

есть многочлен степени с целыми коэффициентами где во Если бы мы взяли то для достаточно больших было бы поэтому будем предполагать, что Тогда, как известно, существует такое целое число что для

Докажем, что при любом натуральном число будет составным. Пусть натуральные числа, тогда при всяком натуральном число делится на откуда следует, что числа, для делятся на значит, число также делится на Но в таком случае

делится на или что дает и доказывает, что число которое, как мы знаем, делится на натуральное число следовательно, является составным, что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали, что если есть многочлен с целыми коэффициентами, где коэффициент при высшей степени число положительное, то для бесконечного множества натуральных чисел число является составным.

Однако мы знаем такие многочлены, которые для многих последовательных натуральных чисел принимают значения, являющиеся простыми числами. Примером такого многочлена может служить многочлен Эйлера который для дает разные простые числа. Высказано предположение, что существует бесконечно много натуральных чисел для которых есть простое число.

Мы не знаем, существует ли такое натуральное число чтобы каждое из чисел а для было простым. Во всяком случае таких чисел а не существует.

Многочлен дает простые числа для однако эти числа не все разные.

Возникает вопрос, существуют ли многочлены, которые для натуральных значений переменной дают бесконечное множество простых чисел. Очевидно, существуют такие многочлены первой степени, например многочлен но мы не знаем ни одного такого многочлена степени Мы не знаем, является ли таким двучлен дающий простые числа для Подсчитано, что для есть 842 простых числа вида (где натуральное число); для есть 6656 таких чисел, для 180000 их 11223. Высказано предположение, что для каждого натурального числа существует бесконечно много простых чисел вида где есть натуральное число.

Существует, очевидно, только одно простое число вида где натуральное число, однако высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел вида а также вида где натуральное число (простые числа получаем при соответственно).

В 1962 г. Б. М. Бредихин доказал, что существует бесконечно много простых чисел вида где х и у — целые числа. Можно доказать (хотя это и трудно), что существует бесконечное множество простых чисел вида где натуральные числа. Позднее (в § 19) мы докажем, что существует бесконечно много простых чисел вида где х и у — натуральные числа. Мы не знаем, существует ли бесконечное множество простых чисел, являющихся суммами кубов трех целых чисел.