27. Решение уравнений в простых числах

Мы знаем много простых уравнений (даже первой степени), относительно которых неизвестно, имеют ли они бесконечное множество решений в простых числах.

Таково, например, уравнение Легко доказать, что вопрос, имеет ли это уравнение бесконечно много решений в простых числах равносилен вопросу, существует ли бесконечно много пар простых чисел близнецов. В самом деле, если простые числа такие, что то числа очевидно, не могут быть оба нечетными (так как тогда сумма их была бы числом четным следовательно, составным). Следовательно, одно из чисел например число должно быть четным и потому равно 2. Но тогда числа составили бы пару простых чисел близнецов. С другой стороны, если числа составляют пару простых чисел близнецов, то числа

2 являются простыми и дают решение уравнения

Мы не знаем, имеет ли уравнение или уравнение бесконечно много решений в простых числах у (такое предположение высказано), хотя и известно много таких решений. Например, для уравнения , для уравнения же

Дж. Г. ван дер Корпут доказал, что уравнение имеет бесконечное множество решений в простых числах (ср. стр. 19).

Доказано, что уравнение имеет бесконечное множество решений в различных простых числах так же как и уравнение Например, Легко доказать, что уравнение не имеет ни одного решения в простых числах

Мы не знаем, существует ли бесконечное множество прямоугольных треугольников таких, чтобы длины их сторон были натуральными числами, из которых два — простые. Можно доказать, что этот вопрос равносилен вопросу, имеет ли уравнение бесконечно много решений в простых числах Примерами таких треугольников являются треугольники со сторонами (3,4,5), (5,12,13), (11,60,61), (19,180,181), (29, 240,241), (61,1860,1861).

Легко находятся все решения уравнения в простых числах . В самом деле, если натуральные числа у удовлетворяют уравнению

то очевидно, число нечетное, где целое число, откуда а следовательно, стало быть, у есть число четное. Поэтому, если у является простым числом, то откуда следует, что наше уравнение имеет одно только решение в простых числах: .

Мы не знаем, сколько решений в простых числах имеет уравнение Такие решения известны, например, или

Легко доказать, что если я — натуральное число то уравнение не имеет решений в простых числах

До сих пор не доказано предположение Ферма, согласно которому если простое нечетное число, то уравнение не имеет решений в натуральных числах (Это доказано для простых нечетных чисел