25. Числа Мерсенна

Числами Мерсенна называются числа вида где Они представляют интерес с двух точек зрения. Во-первых, наибольшие известные нам простые числа являются числами Мерсенна и, во-вторых, при помощи чисел Мерсенна мы находим все так называемые совершённые четные числа. (Совершенным числом называется натуральное число, равное сумме всех своих натуральных делителей, меньших самого числа.) число Мерсенна можно определить также как сумму первых членов геометрической прогрессии

Таким образом, имеем

Как легко доказать, если индекс числа есть число составное, то и число является составным. В самом деле, если где натуральные числа то следовательно, число делящееся на является составным.

Итак, если число где простое, то и число должно быть простым, но не обязательно наоборот, так как, например,

Доказано, что если простое число, то каждый натуральный делитель числа должен быть вида где целое число 0. Поэтому, например, делителями числа являются числа где .

Точно так же делители числа должны быть вида . К сожалению, до сих пор не найдено ни одного простого делителя числа (очевидно, число здесь очень велико), хотя другим путем (о чем речь будет идти позднее) доказано, что число составное и является произведением двух различных простых, чисел.

Доказано, что если есть простое число вида то Это позволило показать, что среди

чисел где простое число, многие являются составными. Например,

Высказано предположение (до сих пор не доказанное), что таких составных чисел существует бесконечно много.

Мы знаем пока только 20 простых чисел Мерсеина. Это числа для . Восемь наибольших простых чисел Мерсенна были найдены в последнее десятилетие при помощи электронных вычислительных машин.

Покажем теперь, каким путем было доказано, что эти весьма большие числа Мерсенна являются простыми. Это стало возможным благодаря следующей теореме, доказанной ранее.

Теорема Люка-Д. X. Лемера. Число где простое нечетное тело, тогда и только тогда есть простое, когда является делителем, члена последовательности определенной условиями:

(стало быть, последовательности, первыми членами которой являются числа

Легко доказать что тогда и только тогда, когда является делителем члена последовательности зависящей от и определенной условиями: является остатком деления числа на

Таким образом, при доказательстве того, что число есть простое или составное, нам приходится иметь дело только с возвышением в квадрат и последующим делением на чисел, меньших чем . В частности, для доказательства того, что число имеющее 31 цифру, является простым, нужно было бы убедиться в том, что После выполнения необходимых здесь вычислений было установлено, что число не делится на Следовательно, число составное.

Чтобы доказать, что число имеющее 969 цифр, является простым, нужно. было установить, что Для этого потребовалось произвести несколько тысяч возвышений в квадрат и затем делений на

чисел, имеющих не более чем 969 цифр, что современные машины в состоянии выполнить.

Высказано предположение, что если число Мерсенна является простым, то и число является простым. Это справедливо для четырех наименьших простых чисел Мерсенна, но уже для пятого простого числа как показал в 1953 г. Д. Ю. Уилер, это неверно: число (имеющее 2466 цифр) является составным. Заметим, что ни одного простого делителя числа мы не знаем.

В 1957 г. доказано, что хотя числа простые, числа являются составными, делящимися соответственно на

Высказано также предположение (до сих пор неопровергнутое), что числа для являются все простыми. Это справедливо для чисел где но уже для имеющего, как легко подсчитать, более чем цифр, мы не в состоянии решить вопрос, простое оно или составное.

Мы уже упоминали о связи чисел Мерсенна с совершенными четными числами. Еще Евклид указал следующий способ получения всех совершенных четных чисел. Вычисляем последовательно суммы членов геометрической прогрессии Если такая сумма окажется простым числом, то, умножив ее на последнее слагаемое, получим совершенное число.

С другой стороны, известно, что все совершенные четные числа являются числами вида где есть простое число Мерсенна. (Справедливость этой теоремы была доказана лишь в XVIII в. Л. Эйлером.) Отсюда следует, что мы знаем столько совершенных четных чисел, сколько мы знаем простых чисел Мерсенна, т. е. в настоящее время 20 чисел.

Наименьшим совершенным числом является число наибольшим известным совершенным числом — число . Чисел совершенных нечетных мы не знаем. Известно только, что если они существуют, то являются весьма большими.

Упомянем еще об одной гипотезе, относящейся к числам Мерсенна. Ф. Якобчик высказал предположение, что если простое число, то число Мерсенна не делится ни на один квадрат простого числа. А. Шинцель поставил вопрос, существует ли бесконечное множество чисел Мерсенна, являющихся произведениями различных простых чисел.