29. Несколько нерешенных задач, касающихся простых чисел

1. Мы не знаем, существует ли бесконечно много пар последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет только один простой делитель (как, например, пары 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 7 и 8, 8 и 9, 16 и 17, 31 и 32). Нам известно только 26 таких пар, из которых наивысшей является пара и 24423 (ср. далее 6).

Зато можно доказать, что уравнение где простые числа, натуральные числа имеет только одно решение:

2. Мы не знаем, существует ли бесконечное множество троек последовательных натуральных чисел, каждое которых является произведением двух различных простых чисел. (Примером такой тройки может служить тройка чисел: также тройка: Высказано предположение, что таких троек существует бесконечно много.

3. Мы не знаем, существует ли бесконечно много простых чисел таких, что для каждого натурального число при делении на дает остаток, отличный от 1. (Такими являются, например, простые числа 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83.) Высказано предположение, что таких простых чисел существует бесконечно много.

4. Мы не знаем, из каждого ли натурального числа при изменении двух его цифр можно получить простое число. (Для двузначных чисел это очевидно. Для трехзначных чисел это вытекает, например, из того, что простыми являются числа 101, 211, 307, 401, 503, 601, 701, 809, 907.)

5. Мы не знаем, справедлива ли гипотеза А. Шницеля, согласно которой для каждого вещественного числа существует по крайней мере одно простое число содержащееся между Эту гипотезу А. Шинцель проверил для всех чисел таких, что

6. Легко доказать, что среди любых шести последовательных натуральных чисел по крайней мере одно имеет хотя бы два различных простых делителя (так как всегда одно из них делится на 6 и, значит, имеет простыми делителями 2 и 3).

Можно также доказать, что среди каждых трех последовательных натуральных чисел хотя бы одно имеет по крайней мере два различных простых делителя. Но мы не знаем, среди каждых ли двух достаточно больших последовательных натуральных чисел хотя бы одно имеет по крайней мере два различных простых делителя. Иными словами, мы не знаем, существует ли натуральное число такое, что для хотя бы одно из натуральных чисел имеет по крайней мере два различных простых делителя. Мы знаем только, что если такое существует, то должно быть ибо из чисел каждое имеет только один простой делитель. Доказано, что если такое число существует, то существует только конечное число простых чисел Ферма и только конечное число простых чисел Мерсенна.