5. Простые числа близнецы

Относительно бесконечной последовательности последовательных простых чисел, т. е. последовательности

возникает ряд вопросов. Лишь на некоторые из них удается легко дать ответ.

Так, например, два наименьших простых числа 2 и 3 являются последовательными натуральными числами. Напрашивается вопрос, существуют ли другие последовательные натуральные числа, которые оба были бы

простыми. Легко доказать, что таких чисел нет. В самом деле, из каждых двух последовательных натуральных чисел одно является четным, и, значит, если оно то оно составное.

Однако существует много пар последовательных нечетных чисел, которые оба являются простыми, например пары 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43. Такие пары мы называем парами чисел близнецов. До 30 миллионов имеется 152 892 таких пар.

Уже. давно поставлен вопрос, существует ли бесконечно много пар простых чисел близнецов. На этот вопрос мы не знаем ответа. Итак, мы не знаем, представимо ли число 2 бесконечным числом способов в виде разности двух простых чисел.

Высказано предположение, что каждое четное число можно бесконечным числом способов представить в виде разности двух последовательных простых чисел. Однако мы не можем доказать даже того, что каждое четное число представимо в таком виде хотя бы одним способом, что проверено для многих последовательных четных чисел, например, Более того, мы не можем доказать даже того, что каждое четное число представляет собой разность двух простых чисел (хотя бы и непоследовательных).

Но мы можем найти все нечетные числа, представляющие собой разность двух простых чисел. Действительно, если натуральное нечетное число является разностью двух простых чисел, то одно из этих простых чисел должно быть четным, а другое нечетным, следовательно, одно из чисел и как легко видеть, именно число должно быть равно 2. Таким образом, имеем где простое нечетное число. Итак, все натуральные нечетные числа, которые являются разностью двух простых чисел, меньше простых нечетных чисел на 2, следовательно, это числа 1, 3, 5, 9, 11, ... Таких чисел бесконечно много.

Однако существует бесконечно много и таких нечетных чисел, которые не являются разностью двух простых чисел, например все числа вида где k — натуральное число. В самом деле, равенство

где простое число, невозможно, так как из него следует, что что есть составное число.