6. Гипотеза Гольдбаха

В 1742 г. Хр. Гольдбах высказал предположение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел. Это предположение до сих пор не доказано и не опровергнуто. Оно проверено для всех четных чисел вплоть до 100 000. Была высказана и более сильная гипотеза, а именно, что каждое четное число является суммой двух различных простых чисел. Эту гипотезу С. Голашевский проверил для всех чисел .

Можно доказать, что последняя гипотеза равносильна утверждению, что каждое натуральное число является суммой трех различных простых чисел. А. Шинцель доказал, что из гипотезы Гольдбаха следует, что каждое нечетное число является суммой трех различных, простых чисел.

Из гипотезы Гольдбаха следует также, что нечетное число является суммой трех простых нечетных чисел. Действительно, если есть натуральное число и то Согласно гипотезе Гольдбаха, четное число есть сумма двух простых чисел причем не могут быть четными, так как наше число Таким образом, числа являются нечетными, и, значит, число есть сумма трех простых нечетных чисел.

Мы не знаем, является ли каждое нечетное число суммой трех простых нечетных чисел, однако для достаточно больших нечетных чисел это было доказано И. Виноградовым в 1937 г. Мы даже знаем такое число а что каждое нечетное число является суммой трех простых нечетных чисел.

Таким образом, решению вопроса, является ли каждое нечетное число суммой трех простых нечетных чисел, препятствует лишь громоздкость необходимых для этого вычислений, так как здесь достаточно исследовать только нечетные числа а для

ждого данного нечетного числа можно при помощи конечного числа простых арифметических действий решить, является оно суммой трех простых нечетных чисел или нет.

Иначе обстоит дело с гипотезой Гольдбаха: здесь мы не можем сказать, что решению вопроса, верна или нет эта гипотеза, мешает только громоздкость необходимых вычислений.

Доказано, что каждое натуральное число есть сумма двадцати или менее простых чисел.

Доказано, что каждое натуральное число есть сумма двух или более различных простых чисел. Например, . А. Монковский же доказал, что каждое натуральное число есть сумма различных простых чисел вида и доказал три аналогичных теоремы о суммах простых чисел каждого Из видов

Из гипотезы Гольдбаха следует, что каждое целое нечетное число (положительное или отрицательное) может быть бесконечным числом способов представлено в виде где простые нечетные числа.

Действительно, для каждого целого числа существует простое нечетное число такое, что (в качестве можно взять любое достаточно большое простое число). Но тогда есть четное число следовательно, согласно гипотезе Гольдбаха, где простые нечетные числа. Таким образом, причем простое число может быть произвольно большим. Отсюда вытекает предложение, сформулированное выше.

Интересно отметить, что последнее предложение было доказано Дж. Г. ван дер Корпутом в 1923 г. Однако его доказательство весьма сложно.

В связи с гипотезой Гольдбаха заметим, что каждое натуральное число есть сумма двух составных чисел. Действительно, если является числом четным, то есть четное число следовательно, число составное, и, значит, есть сумма двух составных чисел: Если же является числом нечетным, то есть четное число и,

тельно, составное, и, значит, есть сумма двух составных чисел: Отсюда, однако, нельзя сделать вывод, что исследование составных чисел легче, чем исследование простых чисел. Так, мы не можем, например, дать ответ на вопрос, существует ли среди чисел где бесконечно много составных (до сих пор мы знаем только 37 таких составных чисел, среди которых наибольшим является

Г. Г. Гарди и Дж. Е. Литтлвуд высказали предположение (до сих пор не доказанное), что каждое достаточно большое натуральное число, не являющееся квадратом, есть сумма квадрата целого числа и простого числа. Легко доказать, что существует бесконечно много квадратов натуральных чисел, которые являются, а также таких, которые не являются суммой квадрата целого числа и простого числа.

Действительно, с одной стороны, если есть простое нечетное число, то — является натуральным числом, и мы имеем

с другой же стороны, если где натуральное число, то равенство

при целом неотрицательном и простом невозможно, так как из него следовало бы, что и

откуда, принимая во внимание, что есть простое число, значит,

что натуральном исключено.

Другая теорема Гарди — Литтлвуда, согласно которой каждое достаточно большое натуральное число есть сумма двух квадратов целых чисел и простого числа, была доказана в 1959 г. Ю. В. Линником.